例谈动点轨迹方程的求法.docx

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1、例谈动点轨迹方程的求法发表时间：2012-10-15来源：《中学课程辅导*教学研究》2012年13期作者:龚玉珍［导读］曲线和方程是解析几何的基本问题之一，核心就是曲线与方程的转化关系，而解析几何的基本思想就是建立曲线的方程，通过方程去研究曲线的性质。龚玉珍摘要：曲线和方程是解析几何的基本问题之一，核心就是曲线与方程的转化关系，而解析几何的基本思想就是建立曲线的方程，通过方程去研究曲线的性质。本文归纳梳理了几种常见的求动点轨迹方程的方法。关键词：动点轨迹方程；曲线；方程曲线和方程是解析几何的基本问题之一，核心就是曲线与方程的转化关系，而解析几何的基本思想就是建立曲线的方程

2、，通过方程去研究曲线的性质，所以说曲线与方程是解析几何的一条主线，在高考中也经常会有一些试题是以建立动点轨迹方程作为切入点的，本文归纳梳理了几种常见的求动点轨迹方程的方法,供学习参考：一、直接法例1；设直竝1垂直于托轴，且与=4交于两悬P是/上满定巨1用=?的点,求点F的轨迹方程.解；设F的地标为(5刚由方程*+2尸=4,得4E纵坐标》=±［弓二由于直线j与椭IK交于两点4刃，故-2

3、一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含的等式，得到轨迹方程，这种方法称为直接法•用直接法求动点轨迹方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五上步骤，但最后的证明可以省略。二、定义法例2r若动匮IF过点皿？2,0),且与另一匮］M:(x-2)2=区外切，求动匮1F的團心的轨迹育程.解：动圆尸过点N,PN是该圆的半径，又动圆0与處外切»PM=PN+2^2即加

4、=

5、/W

6、+2JT,故点F的轨迹是以沖焦点，实轴长九2忑、焦距

7、皿则沖4的双曲线的左支，即有营=忑疋=2…b=忑,从而动圆P的圆讹轨迹方程为+-才冷—处方法总结：运用解析几何中一些常用定义(例

8、如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活运用定义，同时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一。三、相关点的代入法例3：已知△4EC的两顶点4万的坐标分别为乂(0,0),8(6,0)，顶点C在曲线尹=：/+3上运动，求△4EC重心的轨迹方程.解：设G(x,刃为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x,y),则由重心坐标公式，得0+6+/x='_or

9、=3(x-2)2+1・方法总结：当形成曲线的动点P(xj),随着另一个在已知曲线/(x^)=0上的动点Q(x'j')有规律的运动时，利用这种规律就能得到，二做x,刃少=0(儿刃，而，，"满£/(xy)=0,将F=勿乙刃丿'=g(xj)代入就可得到动点P(x,刃所形成的曲线的方程•相关点的代入法求曲线方程的难点是建立已知点和所求点的联系，即x，xx',y所满足的关系式，这需要根据间题的具体情况，充分利用已知的几何条件进行，一般需要找到两个互相独立的条件建立方程，通过这两个方程所组成的方程组用X,)表达x*,y.四、几何法例4：已知点*3,2)、5(1-4),过4、0作两条

10、互相垂直的直线A和乙，求厶和乙的交点必的轨迹方程.解：由平而几何知识可知，当M妣为直角三角形时，点M的轨迹是以曲为直径的圆。此圆的圆心即为M的中点(-1,-1),半径为£刈创二孚，方程为(x+1)2+Cy+1)2=13,故M的轨迹方程为(x+1i2+O+1)2=13-方法总结:若所求的轨迹满足某些几何性质，则可以用几何法,先列出几何式，再代入点的坐标，化简后即可得所求轨迹方程.五、点差法唇已知直线帥圆吕+仝】相交于必两点，且弦亦中点为咖)，求直线，的方程.解：设乂(和乃),/乃,乃)，则迸立=2,写匕“，即Xj+Xj=4小+儿=2①22—1,8422—1,84两式相减得y

11、a上/2=。将①式代入整理得必一歹2=6一心-1,即直线Z的斜率上=-1,故直线Z的方程为7=-x+3＞经检验所求方程满足题意・方法总结：求弦中点的轨迹方程，常常运用“设而不求”的技巧，通过中点坐标及斜率的代换，达到求出轨迹方程的目的，这种求轨迹方程的方法叫点差法.六、参数法例6：动直线尹=上X+1与y轴交于点4,与抛物线=X-3交于不同的两点B、C,点P在动直线上，且满足BP=APCrAB=AAC,其中2eR,且4^0,若£)(0-1),求△D4P的重心0的轨迹方程，并指出轨迹图形。解：由v：上兀+1nFx?+（2上-l）x