导数理论在最优化经济数学模型中的应用研究

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1、导数理论在最优化经济数学模型中的应用研究　　【摘要】本文从导数和偏导数的概念出发，引入边际分析的相关概念，对最低成本、最大利润和最优批量等最优化经济数学模型进行分析、研究和探讨.　　【关键词】导数；偏导数；边际分析；最优化；数学模型　　应用定量分析方法解决经济问题已成为经济学理论体系中的重要组成部分，很多经济学理论如纳什均衡和期权定价公式等都是用数学语言来描述的.数学使经济学理论步入了定量化、精密化和准确化的发展轨道，使经济学变成一门越来越严谨的学科.　　一、导数和边际分析　　（一）导数的概念　　设一元

2、函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得改变量Δx时，相应的函数改变量为Δy=f（x0+Δx）-f（x0），如果极限limx→0　　（二）偏导数的概念　　设二元函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某个邻域内有定义，当y固定在y0不变，而x在点x0处取得改变量Δx时，相应的函数改变量Δxz=f（x0+Δx，y0）-f（x　　（三）边际分析10　　在现实经济活动中，若设某经济指标y与影响指标值的因素x1，x2，……，xn之间成立函数关系y=f（x1，x2，…，xn），我们

3、把函数y=f（x1，x2，…，xn）的一阶偏导函数f′xi（x1，x2，…，xn）（i=1，2，…，n）称为函数y=f（x1，x2，…，xn）的边际函数，记作My，偏导函数My=f′xi（x1，x2，…，xn）在点P0处的函数值称为函数y=f（x1，x2，…，xn）在点P0处的边际值，而使f′xi（x1，x2，…，xn）=0的边际点的函数值可能就是极大值或极小值，这种边际点在经济分析和决策中往往是最佳点，找到最合理的边际点，就能做出最有利的经济政策.微观经济学把研究这种变化规律的方法叫作边际分析法.　　

4、1.边际成本　　在经济学中，常常需要研究产量增加一个单位时所增加的成本.设生产某种产品q单位时的总成本函数C=C（q）可导，则称MC=C′（q）为边际成本函数，简称边际成本，C′（q0）为产量为q0单位时的边际成本.　　边际成本是总成本函数C（q）关于产量q的导数，其经济含义是：当产量为q时，再多生产一个单位（即Δq=1）的产品所增加的成本量C（q+1）-C（q），近似地记为：C（q+1）-C（q）=Δ边际成本是极限意义下的平均，是当增量Δq→0时，总成本C（q）的瞬时变化率，只与产量q有关.　　2.边

5、际收入　　设销售某种产品q单位时的总收入函数R=R（q）MR=R′（q）可导，则称为边际收入函数，简称边际收入，R′（q0）是销售量为q0单位时的边际收入.　　其经济含义是：当销售量为q时，再多销售一个单位（即Δq=1）的商品总收入的改变量R（q+1）-R（q），近似地记为：10　　3.边际利润　　与边际成本和边际收入类似，边际利润函数为总利润函数L（q）关于销售量q的导数.设某产品的销售量为q时的利润函数L=L（q）可导，则称ML=L′（q）为边际利润函数，简称边际利润，L′（q　　即ML=L′（q）

6、=limΔq→0ΔLΔq=limΔq→0L（q+Δq）-L（q）Δq.　　其经济含义是：当销售量为q时，再销售一个单位（即Δq=1）产品所增加（或减少）的利润L（q+1）-L（q），近似地记为：　　L（q+1）-L（q）=ΔL（q）≈dL（q）=L′（q）Δq=L′（q）.　　边际利润L′（q）<0意味着当产量（销量）为q时，再生产（销售）一个单位的产品（即Δq=1）总利润将减少，这时产品生产（销售）得越多利润会越小.　　如果在某一经济问题中，总成本函数、总收入函数或总利润函数是多元函数，则分别称他们的

7、偏导数为边际成本、边际收入或边际利润.　　二、最优化的数学表达　　在经济生活中，每个经济人在符合市场条件的前提下，都力求寻找对自己最有利的方案，如：最低成本、最大利润、最优效益、企业的最佳规模以及企业内部生产资料同劳动数量之间最合理的比例等等.这些问题从数学的角度来看都是同一类问题，即求函数最大值和最小值的问题.　　（一）一元函数的最值问题　　若函数y=f（x）在点x0处有极值，且在点x0处的导数存在，则函数y=f（x）在点x0处的导数必为零，即f′（x0）=0.凡是满足方程f′10（x0）=0的点称为

8、函数y=f（x）的驻点.设函数y=f（x）在其驻点x0处具有二阶导数f″（x0），若f″（x0）0，则f（x0）是函数f（x）的极小值.　　一般而言，如果函数y=f（x）在闭区间I上连续，则函数y=f（x）在I上必定能取得它的最大值和最小值.在实际问题中，如果函数y=f（x）在区间I内最大值（或最小值）一定存在，而f（x）在I内只有唯一驻点，那么该驻点处的函数值就是函数y=f（x）在区间I上的最大值（或最小值）.　　（二）多元函数的最值问题