2011考研数二真题与解析

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1、Borntowin2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)(1)已知当时，与是等价无穷小，则()(A)．　(B)．　(C)．(D)．(2)已知在处可导，且，则=()(A)．(B)．(C)．(D)0．(3)函数的驻点个数为()(A)0．(B)1．(C)2．(D)3．(4)微分方程的特解形式为()(A)．　　(B)．(C)．　　　　　　　(D)．(5)设函数均有二阶连续导数，满足且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是(

2、)(A)(B)(C)(D)(6)设，，，则的大小关系是()(A)．(B)．(C)．(D)．(7)设为3阶矩阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵，记，，则()(A)．(B)．(C)．(D)．Borntowin(8)设是4阶矩阵，为的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为()(A)．(B)．(C)．(D)．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．)(9)．(10)微分方程满足条件的解为．(11)曲线的弧长．(12)设函数则．(13)设平面区域由直线圆及轴围成，则二重积分．(14)二次型，则

3、的正惯性指数为．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15)(本题满分10分)已知函数，设试求的取值范围．(16)(本题满分11分)设函数由参数方程确定，求的极值和曲线的凹凸区间及拐点．(17)(本题满分9分)设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求．Borntowin(18)(本题满分10分)设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点处切线的倾角，若求的表达式．(19)(本题满分10分)(I)证明：对任意的正整数n，都有成立．(II)设，证明数列收敛．(

4、20)(本题满分11分)一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成的．(I)求容器的容积；(II)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：，重力加速度为，水的密度为)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图１(21)(本题满分11分)已知函数具有二阶连续偏导数，且，，，其中，计算二重积分．(22)(本题满分11分)设向量组，不能由向量组，，线性表示．(I)求的值；(II)将由线性表示．(23)(本题满分11分)Borntowin为三阶实对称矩阵，的秩为2，即，且．(I)求的特征值与特征向量；(II)求矩

5、阵．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)(1)【答案】(C)．【解析】因为．所以，故答案选(C)．Borntowin(2)【答案】(B)．【解析】．故答案选(B)．(3)【答案】(C)．【解析】　令，得，故有两个不同的驻点．(4)【答案】(C)．【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为，解得特征根．所以非齐次方程有特解,非齐次方程有特解，故由微分方程解的结构可知非齐次方程可设特解(5)【答案】(A)．【解析】

6、由题意有，Borntowin所以，，，即点是可能的极值点．又因为，，，所以，，，，根据题意由为极小值点，可得且，所以有由题意，所以，故选(A)．(6)【答案】(B)．【解析】因为时，，又因是单调递增的函数，所以．故正确答案为(B)．(7)【答案】(D)．【解析】由于将的第2列加到第1列得矩阵，故，即，．由于交换的第2行和第3行得单位矩阵，故，即故．因此，，故选(D)．(8)【答案】(D)．【解析】由于是方程组的一个基础解系，所以，且，即，且．由此可得，即，这说明是的解．Borntowin由于，，所以线性无关．又由于，所以，因此的基础解系中含有个线性无关的解向量．而

7、线性无关，且为的解，所以可作为的基础解系，故选(D)．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．)(9)【答案】．【解析】原式=．(10)【答案】．【解析】由通解公式得．由于故=0．所以．(11)【解析】选取为参数，则弧微元所以．(12)【答案】．【解析】原式．(13)【答案】．【解析】原式Borntowin．(14)【答案】2．【解析】方法1：的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数．二次型对应矩阵为．，故．因此的正惯性指数为2．方法2：的正惯性指数为标准形中正的平方项个数．，令则，故的正惯性指数为2．三、解答题(15～23

8、小题，共9