1990考研数二真题与解析

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1、1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)曲线上对应于点点处的法线方程是＿＿＿＿＿＿.(2)设,则＿＿＿＿＿＿.(3)＿＿＿＿＿＿.(4)下列两个积分的大小关系是：＿＿＿＿＿＿.(5)设函数,则函数＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)已知,其中是常数,则()(A)(B)(C)(D)(2)设函数在上连续,则等于()(A)(B)(C)(D)(3)已知函数具有任意阶

2、导数,且,则当为大于2的正整数时,的阶导数是()(A)(B)(C)(D)(4)设是连续函数,且,则等于()(A)(B)(C)(D)(5)设,其中在处可导,,则是的()(A)连续点(B)第一类间断点(C)第二类间断点(D)连续点或间断点不能由此确定三、(每小题5分,满分25分.)(1)已知,求常数.(2)求由方程所确定的函数的微分.(3)求曲线的拐点.(4)计算.(5)求微分方程满足条件的特解.四、(本题满分9分)在椭圆的第一象限部分上求一点,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中).五、(本题满分9分)证明：当,有不等式.六、

3、(本题满分9分)设,其中,求.七、(本题满分9分)过点作抛物线的切线,该切线与上述抛物线及轴围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转一周所围成旋转体的体积.八、(本题满分9分)求微分方程之通解,其中为实数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】将代入参数方程得在处的函数值:,得切点为.过已知点的法线方程为,当函数在点处的导数时,.所以需求曲线在点处的导数.由复合函数求导法则,可得,；法线斜率为所以过已知点的法线方程为【相关知识点】复合函数求导法则：如果在点可导,

4、而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或.(2)【答案】【解析】原函数对求导,有【相关知识点】1.两函数乘积的求导公式：.2.复合函数的求导法则:如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或.(3)【答案】【解析】对于原定积分,有换元法或拆项法可选择,不管是何种方法,最终的目的都是去掉积分式子中的根式或使得根式积分可以单独积分出结果.方法1：换元法,令,原积分区间为,则,进而,新积分区间为；当时,,当时,,故新积分上限为0,下限为1.,则.原式方法2：拆项法,,原式(4)【答案】【解析】由于,在连续且,根据比较定理得到.【相

5、关知识点】对于相同区间上的定积分的比较,有“比较定理”如下：若与在区间(为常数,)上连续且可积,且,则有(5)【答案】【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域,不能遗漏,求出复合后函数的所有可能的解析式.根据的定义知,当时,有代入,又于是当时,复合函数；当时,有代入,又即当时,也有.因此,对任意的,有.二、选择题(每小题3分,满分15分.)(1)【答案】C【解析】本题考查多项式之比当时的极限.由题设条件,有,分析应有否则.所以解以上方程组,可得所以此题应选C.(2)【答案】B【解析】由函数的不定积分公式:若是的一个原函数,,,

6、有所以本题应该选(B).(3)【答案】A【解析】本题考查高阶导数的求法.为方便记.由,逐次求导得,由第一归纳法,可归纳证明.假设成立,即,则,所以亦成立,原假设成立.(4)【答案】A【解析】对两边求导数得故本题选A.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若,,均一阶可导,则.2.复合函数求导法则：如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或.(5)【答案】B【解析】由于,由函数在一点处导数的定义,得所以函数不连续,且极限存在但不等于函数值,故为第一类(可去)间断点,故本题选B.【相关知识点】1.函数在点连续：设函数在点的

7、某一邻域内有定义,如果则称函数在点连续.2.函数的间断点或者不连续点的定义：设函数在点的某去心邻域内有定义,只要满足一下三种情况之一即是间断点.(1)在没有定义；(2)虽在有定义,但不存在；(3)虽在有定义,且存在,但通常把间断点分成两类：如果是函数的间断点,但左极限及右极限都存在,那么称为函数的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】此题考查重要极限：,得.或由,同理可得.(2)【解析】方程两边求微分,得,整理得.(3)【解析】对分式求导数,有公式,所以,令得,在此变号,即

8、是时,时,故拐点为.【相关知识点】1.拐点的定义：设函数在点的某一邻域连续,函数的图形在点处的左右侧凹凸性相反,则称为曲线的拐点.2.拐点判别定理：(1)设函数在连