论转化与化归思想在高三解题中的运用

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1、论转化与化归思想在高三解题中的运用　　转化与化归作为一种重要的数学思想，能够将相关的数学问题化生疏为熟悉，化含糊为明朗，化抽象为直观，化复杂为简单。借助事物间相互制约、相互联系的观点，在运用整体代入法、配方法、待定系数法等基本思想的基础上完善问题的变化过程，可以缩短问题解决时间。　　一、转化与化归思想的基本运用方法　　目前，转化与划归思想有如下几种基本运用方法。首先，直接转化法。即将数学问题向有联系的基本定理、公式或图形转化，能够及时理清解题思路。其次，构造法。根据问题中的已知条件构建简易的数学模型。第三，数形转化法。借助数形结合的数学方法将问题中的数量关系与相关图形相互转化。第四，换元法。

2、运用换元法大多是为了简化运算过程，一般是将问题中复杂且固定的函数、方程等在经过降幂处理后替换为其他式子。第五，特殊化方法。将普通的问题转化为求特殊解的问题，在证明特殊解也为原问题结论的基础上实现问题简化。第六，坐标法。其多用于几何问题的解决，类似于数形转化，一般是将几何图形转化到坐标系中具体的量。　　二、转化与化归思想在高三解题中的具体运用　　1.转化与化归思想在立体几何中的运用。　　例1.已知在球O的表面上存在A、B、C、D、P五个点，连接PA得到PA=2■且PA⊥平面ABCD，而四边形ABCD正好为边长是2■的正方形，试求△OAB的面积应为多少？3　　分析：由于四边形ABCD为正方形且P

3、A⊥平面ABCD，所以可以试图将这五个点转化为长方体的顶点，并且球应为此长方体的外接球，该长方体对角线中点应为球心0。　　解：连接A、B、C、D、P构建球内接长方体，可以得到△OAB恰好处于该长方体对角面上且面积为该对角面的1/4，该对角面的长为，宽为2，所以　　2.转化与化归思想在数列通项公式求解中的运用。　　例2.已知存在首项为1的数列{an}的递推式满足an+1=3an+2n，那么该数列的通项公式应为怎样？　　分析：由于已经学过并了解了等差数列与等比数列的通项公式，所以可以试图将题目中已知的递推式转化为常见的通项形式，简化解题过程。　　解：假设该递推式可转化为an+1+k?2n+1=3

4、（an+k?2n），与an+1=3an+2n对比，根据待定系数法可得k=1。令bn=an+2n可构建等比数列{bn}，其通项公式为bn=b13n-1，所以an+2n=（a1+2n）3n-1=3n，即an=3n-2n，所以该数列的通项公式为an=3n-2n。　　3.转化与化归思想在解析几何中的运用。　　例3.如图，某市现欲在一条东西走向公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m，已知距离O处正北100米的A处存在一古迹，为保护古迹，该城市决定以A为圆心，100米为半径设立圆形保护区，为了连通公路l、m，需再新建一条公路PQ，点P、Q分别在公路l、m上（点P、Q分别在点O的正东、正北），且要求PQ与

5、圆A相切。试求：（1）当P距离O处200米时，OQ的长;（2）当PQ最短时，OQ多长？3　　分析：解决本题的关键在于图形的分析，根据圆的切线性质可以准确得到方程变量间的联系，为全面求解奠定基础。　　解：由题意可知圆A的方程为x2+（y-1）2=1。（1）根据题意可设直线PQ的方程为+=1，即qx+2y-2q=0（q>2），由圆A与PQ相切可知，所以=1，所以q=，即当P离O点200米时，OQ的长度为百米。　　（2）设直线PQ的方程为+=1，即qx+py-pq=0（p>1，q>2），因为PQ与圆A相切，所以=1，化简可得p2=，则PQ2=p2+q2=+q2，令f（q）=+q2

6、（q>2），可知，f（q）=2q-=（q>2），当2<q<时，f′（q）<0，即f（q）在（2，）上单调递减;当q>时，f′（q）>0，即f（q）在（，+∞）上单调递增。综上可知f（q）在q=时取最小值，所以当公路PQ最短时，OQ的长为百米。　　转化与化归不仅是一种重要的思维策略，同时也是一种重要的数学探究方法。通过把难题转化为某个已经解决或者较易解决的问题，可以有效提高解题效率。深刻学习与运用转化与化归思想，在提高高三学生解题能力方面具有重要的意义。　　作者单位江苏省泰州市第二中学　　编辑聂蕾3