转化思想在导数问题中的运用

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1、转化思想在导数问题中的运用导数是屮学数学的重要内容之一，也是高考考查的重点•主要涉及方程根的讨论问题，函数的最值问题，不等式恒成立问题及不等式证明等，且常以压轴题的形式出现，有较高的难度•解答这些试题的一般方法是分类讨论，但这个分类讨论的过程有时是很复杂的•此时如果能根据不同题目的特点选择恰当的转化策略和方法，就可以使这些非常复杂的导数问题变得简单易解.卜面介绍几种常用的非常冇效的转化策略.一、分离参数，避免讨论例1f(x)二alnx+x2(aWR),讨论关于x的方程f(x)=0在区间［1,e］上根的个数

2、.分析：由f'(x)=ax+2x=a+2x2x知，首先要讨论f'(x)二0有没有实数根，有实根时实根在区间［1,e］内，还是在区间［1,e］外，然后还要再研究区间端点的函数值,才能确定方程根的个数•如果我们把参数a分离出來，将方程变形为a=-x21nx,研究定曲线y二-x21nx和动直线y二弋的交点个数，这样就避免了复杂的分类讨论，使解题过程大人简化.解：显然xHl,从而方程f(x)二0,可化为：a=~x21nx・设g(x)二-x21nx,x丘(1,e］,贝Ugz(x)=-2x1nx-x2?lxln2x二

3、一x(21nx~l)ln2x.图1当xW(1,e)时，gz(x)>0,g(x)递增；当xF(e,e)时，gr(x)<0,g(x)递减•又g(e)二-e2,g(e)二-2e,且当x—1时，g(x)—_8.作出g(x)的图像(如图1),从图像看出：当a>-2e时，f(x)二0在区间［1,e］上根的个数为0.当a二-2e或a<-e2时，f(x)=0在区间［1,e］上根的个数为1.当-e2Wa〈-2e时，f(x)=0在区间［1,e］上根的个数为2.二、特值探路，缩小范围例2已知函数f(x)二(m-3)x3+9x,

4、若f(x)在区间［1,2］上的最大值为4,求m的值.分析：由f'(x)=3(m-3)X2+9知，首先耍考虑m23还是m<3,m<3时还要按极值点x二33-m在区间[1,2]上、在左侧，在右侧三种情况讨论•如果注意到对于区间[1,2]上任意x的值都有f(x)W4,则可先取一些特殊的x值代入，就可能将m的范围缩小,从而排除一种或几种情况，使问题简捷地得到解决•许多含参的最值问题、恒成立问题都可以采用这种策略.解：由题意有f(1)二m+6W4f(2)二8m-6W4mW-2,又fr(x)=3(m-3)x2+9=3

5、(m-3)(x2+3m-3),当mW-2时,3m_3W[-35,0),又xu[l,2]时,x2e[l,4],所以x2+33-m>0.所以xe[l,2]时，f'(x)<0.所以f(x)在[1,2]上是减函数，所以f(x)在[1,2]的最大值为f(1)二m+6,所以m+6=4,所以in二-2.三、观察图像，另辟蹊径例3已知函数f(x)=ex-ln(x+m)(1)设x二0是f(x)的极值点，求m并讨论f(x)的单调性；(2)当mW2时，证明f(x)>0.分析：这是2013年高考新课标全国卷II(理)的压轴题，对

6、于第(2)小题，由mW2有f(x)2ex-ln(x+2),故只要证明g(x)二ex-ln(x+2)>0•又由g7(x)二exTx+2可证X(x)二0有唯一的解x0,且g(x)在(-2,x0)上单调减，在(x0,+->)上单调增，从而只要证g(x0)>0•这种证法对学生的思维能力和运算能力要求都很高，一般学生无法顺利解答•如果作出函数y二ex和y=ln(x+2)的图像，则容易看出这两个函数的图像都与直线y二x+1相切(如图2),从而可以转化为证明两个非常简单的不等式ex2x+l及x+121n(x+2)・图2

7、解：(1)略；(2)由mW2有f(x)MexTn(x+2),所以只要证明ex-ln(x+2)>0.设F(x)二ex-(x+1),G(x)=ln(x+2)-(x+1).则F‘(x)=ex-l,G‘(x)二lx+2-1二x+lx+2.在(-2,0)上，F‘(x)<0,在(0,+8)上F‘(x)>0.所以F(x)2F(0)二0,所以ex$x+l(当且仅当x二0取等号).又在(-2,-1)上，Gf(x)>0,在(-1,+8)上Gf(x)<0.所以G(x)WG(-1)=0,所以In(x+2)Wx+1(当且仅当x=-

8、1取等号).所以ex$x+l$ln(x+2),因为等号不同时成立，所以ex>ln(x+2).所以当mW2时，f(x)>0.四、等价转换，殊途同归例4已知函数f(x)=ax3~3x2,g(x)=f(x)+ff(x),xW[0,2],若g(x)在x二0处取得最大值，求实数a的取值范围.分析：由(x)=3[ax2+2(a-1)x-2]二0知，需分a=0和a7^0讨论，当aHO时可用求根公式求出g(x)的极值点，然后再求g(x)最大值