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《高中数学 第1章 导数及其应用 1_3_2 极值点知识导航 苏教版选修2-21》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3.2极值点知识梳理1.设函数f(x)在x0附近有定义,_____________，则称f(x0)是f(x)的一个极大值;如果对于x0附近的所有的点,都有_____________,就说f(x0)是f(x)的一个_____________.2.函数f(x)在x0点处的导数为0,是f(x)在x0处取得极值的_____________条件.3.当函数f(x)在x0处可导,判断f(x0)为极值的方法是_____________;_____________.4.若x0为f(x)的极小值点,则_____________,导数为零的点________
2、_____为极值点.知识导学1.函数的极值研究是导数应用的关键知识点,可加深对函数单调性与其导数关系的理解.y=f(x)的导数存在时,f′(x0)=0是y=f(x)在x=x0处有极值的必要条件,如果再加之x0两侧附近的导数的符号相反,才能确定在x=x0处取得极值;y=f(x)在x=x0处没有导数时,x=x0也可能是y=f(x)的极值点,确定y=f(x)的疑点(可能是极值点)应分为f′(x)=0,f′(x)不存在两类.2.判断可导函数极值的方法设函数y=f(x)在点x0及其附近可导,且f′(x0)=0.(1)如果f′(x)的符号在点x0的左右由
3、正变负,则f(x0)为函数f(x)的极大值.(2)如果f′(x)的符号在点x0的左右由负变正,则f(x0)为函数f(x)的极小值.疑难突破导数为零的点一定是极值点吗?函数的单调性与函数的极值有怎样的关系?剖析:确定函数的极值应从几何直观入手,导数为0的点不一定是极值点(如y=x3,当x=0时,y′=3x2=0)，但可导函数的极值点必须是导数为0的点.如果函数f(x)在(a,b)内为单调函数,那么f(x)在(a,b)内没有极值,即单调函数在单调开区间内没有极值点.典题精讲【例1】求函数y=x4-2x2-1的极值.思路分析:先求导数f′(x),再
4、求方程f′(x)=0的根,最后检查f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.解:y′=4x3-4x,令y′=0,得x1=-1,x2=0,x3=1.将x，y在相应区间上y′的符号关系列表如下：x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)y′-0+0-0+y↘极小值-2↗极大值-1↘极小值-2↗所以当x=-1时，函数有极小值-2，当x=0时，函数有极大值-1，当x=-1时，函数有极小值-2.绿色通道：使y′=0的点未必是极值点,但可导函数的极值点
5、处导数必为0,极大(极小)值与最值是不同的概念,极大值不一定比极小值大.变式训练：求函数y=的极值.思路分析:首先判断出函数的定义域,然后步骤同例1的解析.解:函数定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),∵y′=，令y′=0，得x1=-1,x2=2.令x变化时,y′,y的变化情况如下表：x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,2)2(2,+∞)y′+0-+0+y↗↘↗3↗故当x=-1时，y极大值=.【例2】求下列函数的极值.(1)f(x)=x3-12x;(2)f(x)=x2e-x;(3)f(x)=-2.思路分析:按照求极值的基本方法,首先从方程f
6、′(x)=0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.解:(1)函数定义域为R.f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).令f′(x)=0,得x=±2.当x＞2或x＜-2时,f′(x)＞0,∴函数在(-∞,2)和(2,+∞)上是增函数;当-2＜x＜2时,f′(x)＜0,∴函数在(-2,2)上是减函数.∴当x=-2时,函数有极大值f(-2)=16,当x=2时,函数有极小值f(2)=-16.(2)函数定义域为R.f′(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x,令f′(x)=0,得
7、x=0或x=2.当x＜0或x＞2时,f′(x)＜0,∴函数f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上是减函数;当0＜x＜2时,f′(x)＞0,∴函数f(x)在(0,2)上是增函数.∴当x=0时,函数取得极小值f(0)=0,当x=2时,函数取得极大值f(2)=4e-2.(3)函数的定义域为R.f′(x)=,令f′(x)=0,得x=±1.当x＜-1或x＞1时,f′(x)＜0,∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是减函数;当-1＜x＜1时,f′(x)＞0,∴函数f(x)在(-1,1)上是增函数.当x=-1时,函数取得极小值f(-1)=-3,当
8、x=1时,函数取得极小值f(1)=-1.绿色通道：解答本题时,应注意f′(x0)=0,只是f(x)在x0处有极值的必要条件,如果再加上x0附近导数的符号相反,才能断
