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《高中数学 第1章 导数及其应用 1_2_1 常见函数的导数知识导航 苏教版选修2-21》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.2导数的运算1.2.1常见函数的导数知识梳理(1)C′=_____________(C为常数);(2)(xn)′=_____________;(3)(sinx)′=_____________;(4)(cosx)′=_____________;(5)(ex)′=_____________;(6)(ax)′=_____________;(7)(lnx)′=_____________;(8)(logax)=_____________;(9)(xα)′=_____________.知识导学由导数定义给出了求导数的最基本方法,因为导数是由极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限运算.这显然比较麻烦,
2、甚至困难,但是找到一些常用函数的导数将使求导工作大大简便,因此要熟记常见函数的导数.疑难突破通过几个实例归纳出y=xn的导数的形式;熟记基本初等函数的求导公式.剖析:通过对函数y=kx+b,y=x2,y=x3,y=及y=几种函数导数的推导过程,总结出y=xn的导数的形式，这是培养学生善于思考及善于归纳的好习惯.正确记忆基本初等函数的求导公式是本节课的重点和难点,只有熟练记忆才能用起来方便.常用函数的导数公式是求导的基础,高考中经常涉及,但单独考查利用导数公式求导数的题目并不多,常与其他知识联系起来考查.典题精讲【例1】(1)求曲线y=sinx在点P()处切线的斜率k;(2)物体运动方程为s=,
3、求当t=5时瞬时物体运动的速度v.思路分析：本题是一道导数应用题,必须从导数的公式入手.解:(1)(sinx)′=cosx,当x=时,k=.(2)s′=()′=t3,当t=5时,v=125.变式训练：已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.思路分析：本题是已知斜率求点的坐标的问题.可先设出点的坐标，再代入方程求得切线方程.解:y′=(x2)′=2x,设切点坐标为M(x0,y0)，则当x=x0时，切线斜率k=2x0,因为PQ的斜率为=1.又切线平行于直线PQ,所以k=2x0=1，即x0=.所以切点M().所求切线方程为,即4x-4y-
4、1=0.【例2】求曲线y=2x2-1的斜率为4的切线方程.思路分析：导数反映了函数在某一点处的变化率,它的几何意义就是相应曲线在该点处的切线的斜率.由于切线的斜率已知,只要确定切点的坐标,先利用导数求出切点的横坐标,再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标,从而可求出切线方程.解:设切点为P(x0,y0)，则y′=(2x2-1)′=4x.当x=x0时,4=4x0,∴x0=1;当x0=1时,y0=1,∴切点P的坐标为(1,1).故所求切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.绿色通道：联系实际，深刻理解导数的意义,在不同的区域代表的具体意义不一样,但本质上都是指事物在某过程中的变化率的极值.
5、变式训练：求过曲线y=cosx上点P(),且与过这点的切线垂直的直线方程.思路分析：首先要求切线的斜率.解:因为y=cosx,所以y′=(cosx)′=-sinx.曲线在点P()处的切线斜率是,所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为.所以所求直线方程为,即=0.【例3】已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点.O是坐标原点,试在抛物线的上求一点P,使△ABP面积最大.思路分析：依题意
6、AB
7、为定值,只要P点到AB的距离最大,S△ABP就最大,问题转化为在抛物线的上求一点P到直线AB的距离最大.由导数的几何意义,知P为抛物线上与AB平行的切线的切点,求出P点坐标即可,也可用解析几
8、何知识求解.解法一:如图1-2-1所示，
9、AB
10、是定值,△PAB的面积最大.只需P到AB的距离最大,即只需点P是抛物线上平行于AB的切线的切点.设P(x,y)，由图知点P在x轴下方的图象上,所以.所以y′=.图1-2-1因为kAB=,所以,x=4.又y2=4x(y＜0)时,y=-4，所以P(4,-4).解法二:设P().因为
11、AB
12、为定值,要使△PAB的面积最大,只需P到直线AB:x+2y-4=0的距离最大.设距离为d,则d=,y0∈().当y0=-4时,d最大.此时△PAB的面积最大,所以P(4,-4).绿色通道：解法一是利用导数的几何意义解题,注意数形结合思想的运用;解法二是用函数的方法求
13、P点的坐标,注意配方法的运用.变式训练：已知抛物线c1：y=x2+2x和c2：y=-x2+a.如果直线l同时是c1和c2的切线,称l是c1和c2的公切线.公切线上两个切点之间的线段,称为公切线段.(1)a取什么值时,c1和c2有且仅有一条公切线?写出此公切线方程.(2)若c1和c2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.(1)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线c1在点P(x1,
