有限变形热-粘弹性本构理论的分子网络模型

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1、～—塑丛塑堂塑查堂！坚塑坠竖！有限变形热一粘弹性本构理论的分子网络模型８黄筑平王建祥程荷兰（北京大学力学与工程科学系，北京１００８７１）摘要奉文在非平衡态热力学的框架下，提出了一个新的热一粘弹性本构理论，该理论将橡胶弹性分子盼络模型与内芟量理论有机地联系了起来，从而可程描述大变形条件下材料的非线性热一粘弹性力学行为．拳文解析地给出了在定容比热为常数时的自由能表达式，重点探讨了不可压热粘弹性材料的自由能所具有的形式．由于在自由能表达式中包含了必要的附加项，故可用来合理描述不可压粘弹性材料中内变量的演化规

2、律．本文还考察了热一力耦舍效应对材料力学行为的影响，并以剪切变形为例对材料的粘性耗散谤导的各向异性和热软化现象进行了讨论．通过与前人实验结果的比较，表明了本文理论预测的合理性和有效性．关键词非高斯网络模型，热一粘弹性，内变量，有限变形引言为了将基于Ｂｏｈｚｍａｎｎ叠加原理的线性粘弹性本构关系推广到能计及温度效应的非线性情形，就需要发展新的本构理论．目前虽然已经提出了一些本构模型，但往往难以同时满足以下几点要求：（１）必须符合热力学的限制性条件；（２）当加载无限缓慢（或快速）时，能退化为有限变形下的热弹性

3、本构关系；（３）可以从微观变形机制中找到相应的物理依据；（４）含有尽可能少的、有明确物理意义且能通过实验确定的材料参数（或材料函数）．根据以上要求，本文作者于１９９９年提出了一个新的基于内变量的热一粘弹性本构模型［１］．随后，又对这一模型作了进一步的推广口’“．在本文中，我们将重点研究不可压材料的热粘弹性本构关系，详细说明了在新的自由能表达式中包含相应的附加项的必要性．在此基础上，本文针对基于Ｌａｎｇｅｖｉｎ逆函数形式所构造的本构关系，对简单剪切变形进行了具体计算，讨论了热力耦合效应对材料力学行为的影响

4、，并将理论预测结果与Ｇ’Ｓｅｌｌ等人的实验进行了比较，表明了本文模型的合理性和有效性．１基于分子网络模型的热一粘弹性本构关系在橡胶弹性的分子网络模型中，高聚物的长链分子之问是通过化学交联彼此连接在一起的．为了简化问题的讨论，在该模型中通常采用如下的假设（例如，参见［４］）：（１）材料是不可压的；（２）假设分子链由相同的链节连接而成，而且链节之间的键角可以任意变化而不受限制；（３）交联点在其平均位置附近的统计涨落运动可以忽略不计ｉ（４）结点间的末端距向量的＊国家自然科学基金重点项目（１００３２０１０）的资

5、助・７５・变化与宏观尺度下的连续介质变形相一致，即服从仿射变换规律．根据以上假设，Ｔｒｅｌｏａｒ和Ｒｉｄｉｎｇ［“，Ｗｕ和ＶａｎｄｅｒＧｉｅｓｓｅｎＥ”３等人基于Ｊａｍｅｓ和Ｇｕｔｈ等人”。的Ｌａｎｇｅｖｉｎ逆函数形式的统计分布，将高斯统计网络模型推广到非高斯网络的情形．该模型仅仅多引进了一个材料参数，却能很好地描述橡胶材料在有限变形下的非线性力学行为，故具有较大的优越性．然而，在以上模型中并没有考虑材料的粘性性质，也没有考虑温度的影响．在橡胶弹性的分子网络模型中，对应于在初始参考构形取向为单位向量

6、工岫的分子链段的弹性变形能可表示为∥（口，＾），其中０为绝对温度，＾为末端距向量的伸长比．由以上的假设（４），Ａ可表示为Ａ一（Ｌ。・Ｕ２・Ｌｏ）｛（１）上式中Ｕ为右伸长张量．为了描述材料的粘性性质，现在假设链段的弹性变形能不仅与伸长比有关，而且还与有效伸长比有关，该有效伸长比可通过引进描述材料松弛特性的内变量来加以定义．如果材料由Ｍ种具有不同松弛特性的分子网络组成，第ａ种分子网络的粘性耗散过程可由二阶对称张量｛。来加以描述，称之为第ａ个内变量，则第ａ个有效伸长比可定义为＾。一（Ｌ０・（ｕ一岳）２・Ｌ０

7、）｛（２）这时，第“种分子链段的弹性变形能可写为ｗ４（目，＾，Ａ。）．在不考虑链段之间的交互作用能时，体系的总变形能可表示为ｗｃ一，Ｅ，皇，一薹Ｍ』：ａ对：。∥ｃ一，ａ，ｕ¨妒，ｍ，ｓｉｎ灿ｃｓ，上式中Ｅ—Ｕ—Ｉ为工程应变，Ｍ和＾。（尹，ｍ）分别为第ｏｔ种分子网络的总链段数和参考构形中的取向分布函数．特别地，当材料为初始各向同性时，有儿（Ｐ，ｏＪ）２赤・当定容比热岛为常数时，体系的自由能可写为（例如，参见［４］）口一，‰＋（岛一璃）（０－－ｅｏ）一ＣＥ０１ｎ孚＋ｗ（口，Ｅ，｛。）（４）上式中Ｏｏ，

8、哺和￡。分别为参考状态下的温度、熵密度和内能密度．奶一ｃ０一Ｏｏｒｂ，而式中的Ｗ（Ｏ，Ｅ，墓），即（３）式，应该是温度０的线性函数．于是，由（４）式可得叩一豸，疋一邱差，岔一Ｉ口。褰。一１，２，…，蚴（５）其中Ｐｏ为参考构形中的质量密度，ｑ为约束平衡态下的熵密度，Ｌ和Ａ。为约束平衡态下分别与Ｅ和｛。相共轭的应力和广义应力，满足∑岔：玺≥０．此外，我们还假定内变量的演化方程满足如下的Ｏｎｓａｇｅｒ倒易关系：‰（口）玺一Ａ８（口一１，２，…，