高中数学 第一章 导数及其应用 1_2 导数的运算 1_2_3 简单复合函数的导数教学案 苏教版选修2-2

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1、1.2.3简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f(x)=sin,g(x)=(3x+2)2.问题1:这两个函数是复合函数吗?提示:是复合函数.问题2:试说明g(x)=(3x+2)2是如何复合的?提示:函数g(x)=(3x+2)2是由g(u)=u2,u=3x+2复合而成的.问题3:试求g(x)=(3x+2)2,g(u)=u2,u=3x+2的导数.提示:g′(x)=[(3x+2)2]′=[9x2+12x+4]′=18x+12.g′(u)=2u,u′=3.问题4:观察问题3中导数有何关系?提示:g′(x)=g′(u)·u′.若y=f(u),u=ax+b,则y′x=y′u·u′x,即y′

2、x=y′u·a.1.求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,选好中间变量.2.利用复合关系求导前,若函数关系可以化简,则先化简再求导会更简单.3.判断复合函数的复合关系的一般方法是:从外向里分析,最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式,各层的中间变量结构也都是基本函数关系,这样一层一层分析,最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数.复合函数的求导[例1] 求下列函数的导数.(1)y=;非常感谢上级领导对我的信任,这次安排我向股份公司述职,既是对我履行职责的监督,也是对我个人的关心和爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支

3、持。(2)y=e-0.05x+1;(3)y=cos(ωx+φ)(其中ω、φ为常数);(4)y=log2(5-3x).[思路点拨] 先分清函数自身结构,再合理地选取中间变量,利用复合函数的求导法则求解.[精解详析] (1)y==(2x+3)-是函数y=u-,u=2x+3的复合函数,所以y′x=y′u·u′x=(u-)′·(2x+3)′=-u-·2=-3u-=-3(2x+3)-.(2)y=e-0.05x+1是函数y=eu,u=-0.05x+1的复合函数,所以y′x=y′u·u′x=(eu)′·(-0.05x+1)′=-0.05eu=-0.05e-0.05x+1.(3)y=cos(ωx+φ)是y

4、=cosu,u=ωx+φ的复合函数,所以y′x=y′u·u′x=(cosu)′·(ωx+φ)′=-sinu·ω=-ωsin(ωx+φ).(4)y=log2(5-3x)是y=log2u,u=5-3x的复合函数,所以y′x=y′u·u′x=(log2u)′·(5-3x)′=-3·==.[一点通] 对于简单复合函数的求导,其一般步骤为“分解——求导——回代”,即:(1)弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式;(2)利用求导法则分层求导;(3)最终结果要将中间变量换成自变量.1.若函数f(x)=ln,则f′(x)=________.解析:f(x)=ln是f(u)=lnu与u=的复合函数,非

5、常感谢上级领导对我的信任,这次安排我向股份公司述职,既是对我履行职责的监督,也是对我个人的关心和爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。所以y′x=y′u·u′x=(lnu)′·′=·=-.答案:-2.函数y=sin3x+sinx3的导数为________.解析:y′=(sin3x+sinx3)′=(sin3x)′+(sinx3)′=3sin2xcosx+cosx3·3x2=3sin2xcosx+3x2·cosx3.答案:3sin2xcosx+3x2·cosx33.求下列函数的导数:(1)y=e2x2+3x;(2)y=.解:(1)y=eu,u=2x2+3x,所以y′x=y

6、′u·u′x=eu·(2x2+3x)′=eu·(4x+3)=(4x+3)e2x2+3x.(2)∵y==(1-3x)-4,∴可设y=u-4,u=1-3x,∵y′u=-4u-5,u′x=-3,∴y′x=y′u·u′x=-4u-5×(-3)=12(1-3x)-5.求导法则的综合应用[例2] 求下列函数的导数.(1)y=31-xsin(2x-1);(2)y=.[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解.[精解详析] (1)y′=(31-x)′sin(2x-1)+31-x·[sin(2x-1)]′=-31-xln3·sin(2x-1)+31-x·2cos(2x-1)=31-x[2cos

7、(2x-1)-sin(2x-1)·ln3].(2)y′=非常感谢上级领导对我的信任,这次安排我向股份公司述职,既是对我履行职责的监督,也是对我个人的关心和爱护,更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。===.[一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法,都能由基本初等函数生成一些新的函数,认清这一点可帮助我们分析函数结构.(2)认清函数结构之后,不要急于求导,应注意恰当利用代数、三角变换方法,化

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