高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二 一般形式的柯西不等式同步配套教学案 新人教a版选修4-5

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1、二一般形式的柯西不等式　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P32名称形式等号成立条件三维形式柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3)一般形式柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k

2、，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)[说明]　一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P32利用柯西不等式证明不等式[例1]　设x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥.[思路点拨]　根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．[证明]　∵(x1＋x2＋…＋xn)＝[(1

3、)2＋()2＋…＋()2]≥2＝n2，非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。∴＋＋…＋≥.柯西不等式的结构特征可以记为：(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋＋…＋)2.其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．已知a，b，c，d∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：＋

4、＋≤3.证明：根据柯西不等式，有(＋＋)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)＝18，∴＋＋≤3.利用柯西不等式求最值[例2]　(1)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1.求＋＋的最小值．(2)设2x＋3y＋5z＝29.求函数μ＝＋＋的最大值．[思路点拨]　(1)利用＋＋＝(x＋y＋z)．(2)利用(＋＋)2＝1×＋1×＋1×)2.[解]　(1)∵x＋y＋z＝1，∴＋＋＝(x＋y＋z)非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，

5、更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。≥2＝(1＋2＋3)2＝36.当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．所以＋＋的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(·1＋·1＋·1)2≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1)＝3×(2x＋3y＋5z＋11)＝3×40＝120.故＋＋≤2，当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，即x＝，y＝，z＝时等号成立．此时μmax＝2.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件

6、．2．设a，b，c，d均为正实数，则(a＋b＋c＋d)·的最小值为________．解析：(a＋b＋c＋d)·＝[()2＋()2＋()2＋()2]·≥非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。2＝(1＋1＋1＋1)2＝42＝16，当且仅当a＝b＝c＝d时取等号．答案：163．已知：x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝2，则＋2＋的最大值为(　　)A．2　　　　　B．2C．4D．5解析：∵(＋2＋

7、)2＝(1×＋2＋·)2≤(12＋22＋()2)[()2＋()2＋()2]＝8(x＋y＋z)＝16..∴＋2＋≤4.答案：C4．把一根长为12m的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值．解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则x＋y＋z＝12，三个正方形的边长分别为，，均为正数，三个正方形面积之和：S＝2＋2＋2＝(x2＋y2＋z2)．∵(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝122，即x2＋y2＋z2≥48.从而S≥×48＝

8、3.当且仅当＝＝时取等号，又x＋y＋z＝12，∴x＝y＝z＝4时，Smin＝3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3m2.　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P331．若a，b，c∈R＋，且＋＋＝1，则a＋2b＋3c的最小值为(　　)A．9B．3非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。C.D．6解析：柯西不等式得a