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1、第3课时 空间向量与空间角一、基础过关1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于( )A．30°B．60°C．150°D．以上均错2．直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则( )A．α＝θB．α＝π－θC．cosθ＝
2、cosα
3、D．cosα＝
4、cosθ
5、3．已知A∈α，P∉α，＝，平面α的一个法向量n＝，则直线PA与平面α所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．150°4．在正三棱柱A
6、BC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )A．60°B．90°C．105°D．75°5.在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为( )A.B.C.D.6．若两个平面α，β的法向量分别是n＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．7．二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面
7、角的大小为________．8．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．二、能力提升9.如图，在三棱锥V—ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A、B、V分别在x、y、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．10.如图，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．1
8、1.如图，四棱锥F—ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC＝2，BD＝.CF与平面ABCD垂直，CF＝2.求二面角B—AF—D的大小．三、探究与拓展12.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求二面角B－DE－C的大小．答案1．B 2.D 3.C 4.B 5.C 6．60° 7.60°8．09．解 由于AC＝BC＝2，D是AB的中点，所
9、以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，故V(0,0，)．所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)．所以cos〈，〉＝＝＝－.所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.10.解 如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz.则＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈，〉＝60°，由·＝
10、
11、
12、
13、cos〈，〉，可得2m＝.解得m＝
14、，所以＝.(1)因为cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是＝(0,1,0)．因为cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60°.可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.11.解 过点A作AE⊥平面ABCD.以A为坐标原点，、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．于是B，D，F(0,2,2)．设平面ABF的法向量n1＝(x，y，z)，则由得令z＝1，得所以n1＝(－，－1,1)．同理，可求得平面ADF的法向量n2＝(，
15、－1,1)．由n1·n2＝0知，平面ABF与平面ADF垂直，所以二面角B—AF—D的大小等于.12．(1)证明 ∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC.以H为坐标原点，为x轴正方向，为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设BH＝1，则A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1
16、)．设AC与BD的交点为G，连接GE，GH，则G(0，－1,0)，∴＝(0,0,1)．又＝(0,0,1)，∴∥.又GE⊂平面EDB，HF⊄平面EDB，∴FH∥平面EBD.(2)证明 ＝(－2,2,0)，＝(0,0,1)，·＝0，∴AC⊥GE.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)解 ＝(－1，－1,1)，＝(－2，－2,0)．设平面BDE的法向量为n1＝(1，y1，z1)，则·n1＝－1－y1＋z1＝0，·n1＝－2－2y
