导数在不等式证明中的应用 毕业论文

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1、本科毕业论文(设计)题目：导数在不等式证明中的应用ApplicationsofDerivativesinProvingofInequality学院统计与数理学院专业信息与计算科学班级2008级一班学号姓名指导教师教务处制二Ｏ一二年五月山东财经大学学士学位论文山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名

2、：年月日山东财经大学关于论文使用授权的说明本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。指导教师签名：　论文作者签名：　　年月日　　　　　年月日山东财经大学学士学位论文导数在不等式证明中的应用摘要不等式的证明是数学学习中的重要内容之一，其常用方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、特殊不等式法等。导数作为微积分学的基本内容，利用其证明不等式是一种行之有效的好方法，它能将某些不等式的证明化难为易，迎刃而解。关键词：导数，不等式，证明，函数。

3、ApplicationsofDerivativesinProvingofInequalityABSTRACTTheproofofinequalityisoneoftheimportantcontentsofthemathematicslearning.Thecommonlyusedmethodsarecomparison,analysis,synthesismethod,inductivemethodandspecialinequalitymethod.Asthebasiccontentofderivativeofcalculus,useittoproveinequal

4、ityisakindofeffectivemethod.Itmaketheproofofinequalitiesismoreeasier.Keywords:Derivatives；inequality；prove；Function山东财经大学学士学位论文目录一、引言1二、、利用微分中值定理证明不等式11、利用拉格朗日中值定理证明不等式12、利用柯西中值定理证明不等式2三、利用函数的单调性证明不等式3四、利用两导数的不等性证明不等式4五、利用函数的凹凸性质证明不等式5六、利用泰勒公式证明不等式6七、利用两导数的不等性证明不等式7小结8参考文献8山东财经大学学士学位论文一、

5、引言导数最早是由法国数学家费马为研究极值问题而提出的，无论在初等数学还是在高等数学中，导数都处于重要的地位。导数是微积分的初步基础知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具。它包括微分中值定理和导数应用。微分中值定理有：Rolle定理、lagrange中值定理、Cauchy中值定理。导数的应用包括：利用导数判断函数的单调性、极值和凹凸性。不等式的证明在数学课题中也是一个很重要的问题，此类问题能够培养我们理解问题、分析问题的能力。在不等式的证明中不同的类型有不同的解法，如果题目给出的函数可导时，利用导数去证明不等式是一种行之有效的办法。用导数证明不等式最主要的是要先构建一个

6、函数。本文针对微分中值定理、函数的单调性、函数的极值、函数的凹凸性、泰勒公式、两导数的不等性在不等式证明中的应用进行了举例。二、利用微分中值定理证明不等式若函数含有一二阶导数，而要证的不等式的两端含有的函数值，特别是的表达式不知道时，或不等式中含有的导数时，常用lagrange中值定理去证明。1、拉格朗日中值定理：若函数在闭区间上连续；在开区间内可导.则在内至少存在一点使得.在拉格朗日公式中由于是内的一个点，故可以表示成的形式，于是定理的结论就可以改为在中至少存在一个值，使.例1：证明对一切成立不等式证设，则，，当时，由可推知，.当时，由可推得，从而得到所要证明的不等式

7、.由上可知：当所要证明的不等式与朗格朗日公式在形式上相似、但不完全相同时，则可以利用朗格朗日定理证明。其一般步骤如下：7山东财经大学学士学位论文（1）分析不等式的具体特点，构造一个函数，。这是证明的关键一步。（2）判断函数在区间上是否符合拉格朗日定理的两个条件；若满足，得出结果：。（3）根据欲证不等式的特点，利用及的性质，将上式进行适当变形，使不等式得以证明。2、柯西中值定理：函数，在闭区间上连续；在开区间内可导；在内每一点处，，则在内至少存在一点，使得.例2:设都是可导函数，且，证明：当时，证：因为故单调增加，所以当时，，即.又在上满足