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1、摘要导数知识是高等数学中极其重要的部分,它的内容,思想和应用贯穿于整个高等数学的教学之中.利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法,它能使不等式的证明化难为易,迎刃而解.在不等式证明的种种方法中,它占有重要的一席之地.本文将从利用函数的单调性,利用函数的最值,利用微分中值定理,利用泰勒公式,利用函数的凹凸性,利用两导数的不等性及利用偏导数等七个方面阐述导数在不等式证明中的应用.关键词:导数,不等式,证明,函数.18AbstractTheknowledgeofderivativeisanextremelyimport
2、antpartofhighermathematic，itscontent,ideas,andapplicationsimpenetrateintotheteachingofhighermathematic.Astotheproofsofinequalities,theuseofthederivativeprovedtobeaneffectivemeasure.Itearnsaplaceinthevariousmethodsoftheproofsofinequalities.Thisarticlewillelabor
3、atetheapplicationofderivativeintheuseoftheproofsofinequalities,thatis,themonotonicpropertyofthefunction,themaximumorminimumvalueofafunction,differentialmeanvaluetheorem,Taylor’sformula,concavity,inequalityoftwoderivativeandpartialderivative.Keywords:derivative
4、,inequalities,prove,function.18目录1.引言52.利用函数的单调性证明不等式63.利用函数的最值(或极值)证明不等式74.利用Lagrange中值定理证明不等式85.利用泰勒公式证明不等式96.利用函数的凹凸性证明不等式117.利用两导数的不等性证明不等式128.利用特殊例题的推广来证明不等式149.结束语16参考文献1618引言不等式与等式一样，在数学问题中都是有着十分重要而且广泛应用的课题，而不等式的研究范围更广，难度更大.有些不等式用初等数学方法是很难证明的，我们将以函数的观点认
5、识不等式，应用导数为工具，使不等式的证明化难为易，迎刃而解.在数学分析课程中，不等式是证明定理与公式的工具，不等式的证明又蕴涵着许多数学分析的技巧.文献[1]微分中值定理及其应用这一章节中主要阐述了拉格朗日微分中值定理、函数的单调性等概念.文献[2]中研究了用导数来证明不等式,其中侧重的方法是拉格朗日中值定理、函数的单调性来证明不等式.文献[3]中讨论了利用函数的最值来证明不等式.文献[4]中用利用函数的凸凹性这一方法来证明不等式.利用导数证明不等式,其传统的方法是利用微分中值定理、函数的单调性及函数的最值等来证明
6、不等式.查阅相关文献十五篇,其中详读十篇.在文献[5]中找到创新之处,得出利用特殊例题的推广这一方法来证明不等式.并且对常用的证明方法进行归纳总结,更进一步地,对归纳的证明方法及创新之处加以应用.182利用函数的单调性证明不等式该方法使用于某区间I上成立的不等式，一般地，证明区间I上成立的不等式时，可以选择作为辅助函数。对求导，判断是大于0或是小于0,判定的单调性，从而证明不等式.定理设函数在区间I上可导,则在区间I上递增(递减)的充要条件是()例1设x>0,证明不等式成立.证明令,显然.当时,有从而在(0,+∞)
7、内严格递增,又在处连续,所以,当时,.即.(1)18设,则时,所以在(0,+∞)内递减,又在处连续,故时,有即(2)由(1)﹑(2)可知,当时,有.注构造适当的辅助函数，使得证明简洁些是很有必要的。为此，往往对待证的不等式作适当的恒等变形。3.利用函数的最值(或极值)证明不等式由待证不等式建立函数,通过导数求出极值并判断极大值还是极小值,再求出最大值或最小值,从而证明不等式,这就是利用函数的最值(或极值)证明不等式的思路.定理2.1设在点连续,在某邻域内可导.(1)若当时,当时,则在点处取得极小值;(2)若当时,当
8、时,则在点处取得极大值.证下面只证(2),(1)的证明可类似地进行.18由定理的条件及单调性定理知,在内递增,在递减,又由在处连续,故对任意的,恒有.即在处取得极大值.若函数的最大(小)值点在区间内,则必是的极大(小)值点.又若在可导,则还是一个稳定点.所以我们只要比较在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值,就能从中找到在上的最大值与最小值.利用函数的最
