2013年秋北师大版必修1示范教案3.4.2换底公式.doc

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1、4.2　换底公式导入新课　　　　　思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝.教师直接点出课题．思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题．思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查

2、表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题．推进新课　　　　　活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义

3、可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．讨论结果：①因为lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，根据对数的定义，所以100.3010＝2,100.4771＝3.不妨设log23＝x，则2x＝3，所以(100.3010)x＝100.4771，100．3010×x＝100.4771，即0.3010x＝0.4771，x＝＝.因此log23＝＝≈1

4、.5851.②根据①我们看到，最后的结果是log23用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log23＝x，由对数定义知道，2x＝3，两边都取以a为底的对数，得loga2x＝loga3，xloga2＝loga3，x＝，也就是log23＝.这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商．③证明logab＝.证明：设logab＝x，由对数定义知道，ax＝b；两边取c为底的对数，得logcax＝logcbxlogca＝

5、logcb；所以x＝，即logab＝.一般地，logab＝(a＞0，a≠1，b＞0，c＞0，c≠1)称为对数换底公式．④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M＞0，N＞0，M＝N，则logaM＝logaN.⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对

6、数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log23＝，即计算log23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x＝log1.01，所以x＝log1.01＝＝≈＝32.8837≈33年．可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．思路1例1计算：(1)log927；(2)log89·log2732.活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底

7、数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．(1)解：log927＝＝.(2)解法一：log89·log2732＝·＝·＝.解法二：log89·log2732＝·＝·＝.解法三：log89·log2732＝·＝·＝.点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键．例2用科学计算器计算下列对数(精确到0.001)：log248；log310；log8π；log550；log1.0822.解：log248＝5.585；log310＝2.096；log8π≈0.550；lo

8、g550＝2.431；log1.0822＝8.795.例3(1)证明＝1＋logab；(2)已知loga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ，求证：loga1a2…an(b1b2…bn)＝λ.活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a为底的对数，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解，利用换底公式可直接得解；(2)这是条件证明问题，