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1、随机信号的相关函数和谱分析凡不能用数学或图表关系式来描述，无法预测其未来时刻准确值的信号称为随机信号。随机信号常以吋间t为自变量，又称随机过程，其幅值是随机数。对于离散时间系统，自变量t变为序列号n,随机过程变为随机序列，可以认为随机序列是随机过程的抽样值。通常，随机信号是功率信号，而且多半受到偶然性因素的支配，不能期待某个被观测信号会重复出现。如果截取随机序列的一段用FFT作频谱分析，那么一段的频谱与另一段频谱大不相同，可见观测随机信号的本身并没有多大意义。处理随机信号最重要的方法是从统计的角度出发对被观测信号实行某些平均运算。这样
2、做与其说是在研究信号本身，不如说是在研究信号源。借用统计学的用语可以这样来描述：处理随机信号时，我们需要经常想到被测数据所属的统计母体。从这个观点出发，被测数据不外乎是从母体中取出的一个样本。从同一个母体取出的样本一定具有某种共同的统计规律性，正是这些规律性才是说明母体的固有参数,才是我们的研究目标。4.3.1随机信号的数字特征和分类我们设想有一对正在通话是电话线，在某时刻我们去测话音电压幅度的瞬时值，发现这是不确定的，我们就说幅度双“)是随机变量,它所有可能的取值的集合称作样本空间，而每一次测出的具体値只是一个样本。如果我们记录一段
3、时间内的电压幅度，发现在每个时间观测点上幅度的都是随机变量，从而整个时间段上幅度的变化曲线也是随机的曲线，这些曲线的采样是对应的随机序列。我们把实测到的那条曲线(或序列)称为是随机过程的一个样木，所有样本的集合称为随机过程的样本空间。把上述概念从电话线推向一般，我们说如果对于每个(T是时间段),x(t)是随机变量，则x(t)扩展为时间函数后的随机变量族｛x(t),fwT｝称为随机过程(见图4.3),其采样是离散的随机过程。图中A,A,G点分别是随机变量双力)的样木，曲线a,b,c,分别是随机过程x(t)的样木。如果双4)的样本空间是实
4、数集【°，么〕，那么随机过程x(t)的样本空间一定落在图中y轴X轴的二维空间内。研究随机变量的统计规律有两种方法。一种是研究其概率分布函数以及概率密度函数(pdf)这是关于随机变量的完全的描述。然而在很多情况下，分布函数难以获得，或者我们没有必要知道得那样完全，只须知道它的一些特征数字就够了。这就是第二种研究方法一一随机变量的数字特征。我们用矩(monment)来描写随机变量的数字特征。对于一个随机变量x(n),用各阶原点矩来表示它与原点0(即自身值)差值的各次方的平均：5［如■阻一阶原点矩,均值(4.36)凤只(初■叫二阶原点矩，均
5、方值(4.37)o0OOOO纽")人阶原点矩(4.38)用各阶中心矩来表示它相对于自身均值而言偏差值的各次方的平均，其中最常用的是二次方：放鬥凹二阶中心矩，方差(439)这里专门用作表示方差，表示求方差。%■顾硕定义为均方差，标准偏差。(4.40)国(咖十$］称作*阶中心矩。(4.41)以上最常用的均值叫,均方值叫,方差处和均方差务,以及两个算符国J(求均值)，S'】(求方差)，对于信号而言，均方值就是它的平均功率。对于两个随机变量x(n),y(n),我们除了仍用原点，屮心來注明是相对原点还是相对均值的偏差外，又加上联合两字用以表示两
6、者的关系：国*3)・歹(町］(j+Q阶联合(原点)矩(4.42)孤心)-%)◎”)-竹门(j+k)阶联合中心矩(4.43)从本课程需要出发，我们只考虑j=k=l时的二阶联合矩。如果所研究的两个随机变量来自同一随机序列的不同位置X(n),x(n+m),我们定义自相关函数(autocorrelation)Rx(加)¥"(对•+w)),(4.44)和自协方差函数(autocovariance)C/w)Aff([x(«)-mx][x(n+刃)-%】},(4.45)它们分别是二阶联合原点矩形、和联合中心矩。由式(4.45)可推岀Cx{m)■Rx
7、(w)-刃;,(4.46)如果研究对象是两个不同随机序列不同位置上的随机变量x(n),x(n+m),我们定义互相关函数(cross-correlation)g(加)+w)),(447)和互协方差函数(也叫相关矩，协方差)(covariance)Cq(w)AF([x(n)-][y(n+加)-®]},(4.48)Q(w)=心(刃)-皿宀,(449)我们将上面四项简称为自相关，互相关，自协方差，协方差(或相关矩)。命名的规律是：凡涉及同一序列称句斤詳，否则称:散:凡带洋丿腱字就必定与均值有关。从式(4.46)和式(4.49)看，协方差是去除
8、均值后的相关。随机过程按其特征可分类如下：輕义(强)平稳平稳广义(弱)平稳各态遍历非各态遍历非平稳平稳随机过程的统计特性与时间无关。非平稳随机过程的统计特性随时间而变化,对这类过程目前尚无完整的分析方法。随机过程处于过度
