471完全平方公式(基础)知识讲解

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1、4・71完全平方公式（基础）【学习目标】1.能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2.会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3.发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法一一完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方.即a2+2ab+b1+,a2-2ab+b2=[a-b^.形如a^Zab+b2,a2-2ab+b2的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，

2、是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母。和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）.要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即

3、分解到不能再分解为止.【典型例题】类型一、公式法一一完全平方公式V1、下列各式是完全平方式的是（A.x~~x—B.1+.兀24【思路点拨】完全平方式是二次三项式,).C.是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【答案】A；【解析】兀$~A+4（1丫I2丿【总结升华】形如/+2"+员，cr-lab+b1的式子叫做完全平方式.举一反三：【变式】（1）如果多项式x2+kx+丄是一个完全平方式，那么k的值为9(2)如果多项式+4是一个完全平方式，那么R的值为【答案】(1)k=±~；(2)k=±4.32、分解因式:(

4、1)疋+14卄49；(2)-12x4-4；(3)/+a+?(4)丄a2b2--ab+l.162【答案与解析】解：(1)F+i4x+49=/+2・x・7+7'=(兀+7)「(2)9x2一12兀+4=(3x)2一2.3x•2+2?=(3%-2)2.(3)宀出"+2.".*+转、21丫d+—2丿⑷存―抄+1」丄"【总结升华】本题的关键是掌握公式的特征,举一反三：【变式】分解因式：.(1•—ob•1+1’=—ab-套用公式时要注意把每一项同公式的每一项对应.(1)9(a+b)2—12(a+b)+4；(2)cT+2a(

5、b+c)+(/?+c)2；(3)10a—cr—25；(4){x+y)2+4(x+y)(x-y)+4(x—y)2.【答案】解：(1)9(a+—12(cz+b)+4=[3(a+/?)]2—2•3(a+b)•2+22=[3(a+b)-2]2=(3°+3b-2)2•(2)a2+2a(b+c)+(b+c)2=[a+(b+c)]2=(a+b+c)2・(3)10a—cr—25—-(a?—10°+25)—-(a-5)'.(4)(x+y)2+4(x4-y)(x-y)+4(x-y)2=(x+y)2+2□(x+y)□2(x-y)+[

6、2(兀-y)]2=[(^+y)+2(x-y)J2=(3x-303、分解因式:(1)釜+寺+>'；⑵⑹4-8岛+乩⑶X+3好一(归)2【答案与解析】^732解：<1)对）广XV4”尤XV八2/尤、7」一+」一+y=vl—+—+r）=r（-+v）~.162■“1624（2）16a4-Serb2+戻=（4夕一b2）2=［（2a+b）（2a一b）f=（2a+b）2（2a-h）2.（3）（x~+3x）~—（兀一1）~=（x~+3兀+兀一l）（x?+3x—兀+1）—(兀$+4x—1)(对+2x+1)=+4-x—1)(兀+

7、1)-.【总结升华】分解因式的一般步骤：一“提”、二“套”、三“查”，即首先有公因式的提公因式，没有公因式的套公式，最后检查每一个多项式因式，看能否继续分解.举一反三：【变式】分解因式：(1)4(x+ci)~+12(兀+6f)(x+b)+9(兀+b)~.(2)4(x+y)2-4(x2-y2)+(x-y)2.(3)-x2-4y2+4xy:(4)4x^y+4x2y2+xy(5)(/—2工)~+2(兀2—2兀)+1；【答案】解：(1)原式二[2(x+d)『+2・2(x+G)・3(x+b)+[3(x+b)]2=[2（

8、兀+a）+3（兀+方）]$=（5x+2a+3b）2.（2）原式=[2（兀+刃『一2•2（兀+y）•（x一y）+（兀一y）2=[2（x+y）-（X-y）l2=（X+3y）2・（3）原式=_（兀2+4）』_4小）=_（x_2y『(4)原式=小(4兀2+4小+;/)=小(2乳+刃2(5)原式=(兀2—2x+l)=(.兀一1)4类型二、配方法C^4、Wx=a/73-1,则F+2x+3=.【思路