472完全平方公式(提高)知识讲解

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1、4・72完全平方公式(提高)【学习目标】1.能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2.会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3.发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法一一完全平方公式两个数的平方和加上(减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(差)的平方.即a2+2ab-^b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)".形如a2+lab+戻，a2-2ab+b2的式子叫做完全平方式.要点诠释：(1)逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；(2)完全平方公式的特点：左边是二次三

2、项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍•右边是两数的和(或差)的平方.(3)完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.(4)套用公式时要注意字母g和b的广泛意义，d、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤(1)如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；(2)如果各项没有公因式那就尝试用公式法：(3)如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解(以后会学到).要点三、因式分解注意事项(1)因式分解的对象是多项式；(2)最终把多项式化成乘积形式：(3)结果要彻底，即分解

3、到不能再分解为止.【典型例题】类型一、公式法一一完全平方公式V1、分解因式：(1)-3ax2+boxy-3ay2；(2)a4-2a2b2+b°；(3)16x2y2-(x2+4y2)2；(4)a4-8«2/r+16//.【答案与解析】解：(1)一3做2+6久9一3©匸=一3°(兀2—2厂+)只)=—3a(x—y)2.(2)a4-2a2b2+b4=(/一b2)2=[(a+ba-b)f=(a+b)2(a一b)2.(3)16x2y2-(x2+4y2)2=(4Ay)2-(X2+4y2)2=(4xy+x2+4y2)(4x)j-x2

4、-4v2)=(X+2y)2[-(x2-4xy+4y2)]=-(x+2y)2(x—2y)2・(1)宀8丹2+16方4=@2_4b2)2=[⑺+2b)(a一2b)]2=(a+2b)2(a一2b)2.【总结升华】(1)提公因式法是因式分解的首选法.多项式中各项若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：①提公因式法；②运用公式法.(2)因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止.举一反三：【变式】分解因式：(1)4(x+a)2+12(%+a)(x+/?)+9(x+b)2.(2)4(x+y)2一4(x2一y2)+(x-v)2•【答案

5、】解：(1)原式=[2(兀+a)『+2・2(x+a)・3(x+b)+[3(x+b)]2=[2(兀+a)+3(兀+/?)]2=(5兀+2。+3b)2•(2)原式=[2(x+y)F—2-2(x+刃•(兀一刃+(兀一『)2=[2(兀+y)一(x-y)]2=(%4-3y)2.2、分解因式：(x2+3x+3)(x2+3%+5)+1.【思路点拨】若将括号完全展开，所含的项太多，很难找到恰当的因式分解的方法，通过观察发现：将相同的部分?+3x作为一个整体，展开后再进行分解就容易了.【答案与解析】解：0?+3兀+3)(/+3工+5)+1

6、=[(%2+3兀)+3][(%2+3兀)+5]+1=(兀2+3兀)2+8(牙$+3兀)+16=(x2+3x+4)，.【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号.举一反三：【变式】若兀,y是整数,求证：(兀+y)(/+2y)(兀+3)>)(兀+4y)+h是一个完全平方数.【答案】解：(x+y)(x+2.y)(x+3y)(x+4y)+)，=[(x+y)(x+4y)][(x+2y)(x+3y)]+/二(x2+5xy+4/)(F+5小+6/)+y4令兀2+5^y+4y2-u:.上式u(u+2

7、/)+V4=(w+V2)2=(x2+5xy+5v2)2即(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y"=(x2^5xy+5y2)2类型二、配方法分解因式3、用配方法來解决一部分二次三项式因式分解的问题，如:x2-2x-8=(x2-2x+1)-1-8=(%-1)2-9=(兀—1+3)(兀―1—3)=(%+2)(无_4)那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？我们先考虑二次项系数为1的情况：如F+加添上什么就可以成为完全平方式?x2+加+((“丫兀+—2丿因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.那么二次项系数不是1的呢

8、？当然是转化为二次项系数为1了.分解因式：3.*+5兀-2.【思路点拨】提岀二次项的系数3,转化为二次项系数为1来解决.【答案与解析】(52)解:女口3・厂+5x—2=31・广—x—I33丿4936(5)2"7、2-x+-——16丿=3(兀+2)x-—3丿【总结升华】配方法，二次项系数为1的时候，添加的项应为一次项