7.2两直线位置关系

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1、7.2两直线的位置关系●知识梳理1.平行与垂直若直线l1和l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则(1)直线l1∥l2的充要条件是k1=k2且b1≠b2.(2)直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2=-1.若l1和l2都没有斜率,则l1与l2平行或重合.若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0,则l1⊥l2.2.相交(1)两条直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2相交得到两类角:“到角”和“夹角”.①到角:直线l1到l2的角是指l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角.设l1到l2的角为θ1,l2到l1的角为θ2,则有θ1∈(0,π)

2、,θ2∈(0,π),且θ1+θ2=π.当k1k2≠-1时,有公式tanθ1=.当k1k2=-1时,l1⊥l2,θ1=θ2=.②夹角:l1到l2的角θ1和l2到l1的角θ2中不大于90°的角叫l1和l2的夹角.设为α,则有α∈(0,],当α≠时,有公式tanα=

3、

4、.如果直线l1和l2中有一条斜率不存在,“到角”和“夹角”都可借助于图形,通过直线的倾斜角求出.的解一一对应.(2)交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0相交方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解;平行方程组无解.

5、重合方程组有无数解.3.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.两平行线l1:Ax+By+C1=0和l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=.●点击双基1.点(0,5)到直线y=2x的距离为A.B.C.D.解析:a==.答案:B2.三直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则a的值是A.-2B.-1C.0D.1解析:解方程组4x+3y=10,2x-y=10,得交点坐标为(4,-2),代入ax+2y+8=0,得a=-1.答案:B3.直线x+y-1=0到直线xsinα+ycosα-1=0(<α<)的角是A.α-B.-αC.α-D.-α

6、解析:由tanθ===tan(-α)=tan(-α),∵<α<,-<-α<0,<-α<π,∴θ=-α.答案:D4.已知点P是直线l上的一点,将直线l绕点P逆时针方向旋转角α(0°<α<90°),所得直线方程是x-y-2=0,若将它继续旋转90°-α角,所得直线方程是2x+y-1=0,则直线l的方程是____________.解析:∵直线l经过直线x-y-2=0和2x+y-1=0的交点(1,-1),且又与直线2x+y-1=0垂直,∴l的方程为y+1=(x-1),即x-2y-3=0.答案:x-2y-3=05.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2-1)

7、=0平行且不重合,则a的值是____________.解析:利用两直线平行的条件.答案:-1●典例剖析【例1】等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x-2y-2=0,底边所在直线l2的方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求该腰所在直线l3的方程.剖析:依到角公式求出l3的斜率,再用点斜式可求l3的方程.解:设l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,l1到l2的角是θ1,l2到l3的角是θ2,则k1=,k2=-1,tanθ1===-3.∵l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形,∴θ1=θ2,tanθ1=tanθ2=-3,即=-3,=-3,解得k3=2.又∵直线

8、l3经过点(-2,0),∴直线l3的方程为y=2(x+2),即2x-y+4=0.评述:本题根据条件作出合理的假设θ1=θ2,而后利用直线到直线所成角的公式,最后利用点斜式,求出l3的方程.思考讨论用夹角公式会产生什么问题,怎样去掉增解?【例2】已知两直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,l1与l2(1)相交;(2)平行;(3)重合?剖析:依据两直线位置关系判断方法便可解决.解:当m=0时,l1:x+6=0,l2:x=0,∴l1∥l2.当m=2时,l1:x+4y+6=0,l2:3y+2=0,∴l1与l2相交.当m≠0且m≠2时,由=得

9、m=-1或m=3,由=得m=3.故(1)当m≠-1,m≠3且m≠0时,l1与l2相交;(2)当m=-1或m=0时,l1∥l2;(3)当m=3时,l1与l2重合.评述:对这类问题要从有斜率、没斜率两方面进行考虑.深化拓展不讨论有斜率、没斜率能直接求解吗?【例3】已知点P(2,-1),求:(1)过P点与原点距离为2的直线l的方程;(2)过P点与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.剖析:已知直线过定点求方程,首先想到的是

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