2005年北京市宣武区高三一模试卷

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1、2005年北京市宣武区高三一模试卷一、选择题（共7小题；共35分）1.已知函数fx=−x2+4x+a,x∈0,1，若fx有最小值−2，则fx的最大值为______A.−1B.0C.1D.22.若集合M=yy=2−x，N=xy=x−1，则M∩N=______A.0,+∞B.0,+∞C.1,+∞D.1,+∞3.圆x2+y2−2x−6y+9=0关于直线x+y=0对称的曲线方程是______A.x2+y2−6x−2y+9=0B.x2+y2+6x−2y+9=0C.x2+y2−6x+2y+9=0D.x2+y2+6x+2y+9=04.在3x2−12x3n的展开式中含有常数项，则正整数n的最

2、小值是______A.4B.5C.6D.75.非零向量a和b满足a=b=a−b，则a与a+b的夹角为______A.π6B.π4C.π3D.π26.对于函数fx=2sin2x+π3，给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线x=π12成轴对称；③图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移π3个单位得到；④图象向左平移π12个单位，即得到函数y=2cos2x的图象．其中正确结论的个数为______A.0B.1C.2D.37.已知定义在R上的函数fx满足下列条件：①f0=2；②fx>1，且limx→−∞fx=1；③当x∈R时，fʹx>0．若fx的反函数是f−1x，则不

3、等式f−1x<0的解集为______A.0,2B.1,2C.−∞,2D.2,+∞二、填空题（共6小题；共30分）8.已知复数z=1−i，则z3=______．9.M是椭圆x29+y24=1上的任意一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，则MF1⋅MF2的最大值是______．10.已知tanα、tanβ是方程x2+33x+4=0的两根，且α、β∈−π2,π2，则tanα+β=______，α+β的值为______．11.各项均为正数的等比数列an的公比为q，前n项和为Sn．若q<1，则limn→∞an+1Sn=______，若q>1，则limn→∞an+1Sn=______．12

4、.有两组问题，其中第一组中有数学题6个，物理题4个；第二组中有数学题4个，物理题6个．甲从第一组中抽取1题，乙从第二组中抽取1题．甲、乙都抽到物理题的概率是______，甲和乙至少有一人抽到数学题的概率是______．13.一件工艺品是将一个彩色半透明的正四面体镶嵌于一个水晶球体内制作而成的．已知正四面体的顶点都在球面上，球的直径为12 cm，则正四面体的棱长为______cm，球心到正四面体各面的距离为______cm．三、解答题（共6小题；共78分）14.已知函数fx=asinxcosx+bcos2x，且f0=2，fπ6=3．（1）求函数fx的最小正周期；（2）求函数fx

5、的最大值、最小值及取得最大值、最小值时的x的值．15.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回．若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．（1）求ξ的分布列、期望值及方差；（2）求η的分布列、期望值及方差．注：必要时可使用公式：Eaξ+b=aEξ+b,Daξ+b=a2Dξ．16.如图1，正△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点．现将△ABC沿CD翻折成直二面角A−DC−B（如图2）．（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二面角B−AC−D的平面角的余弦值；（3）求点C到

6、平面DEF的距离．17.已知定义在R上的函数fx=13x3+12a−4x2+22−ax+a的图象与y轴的交点到原点的距离小于等于1．（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在这样的区间，对任意的a的可能取值，函数fx在该区间上都是单调递增的?若存在，则求出这样的区间，若不存在，则说明理由．18.已知数列an满足Sn=n2ann∈N*，Sn是an的前n项和且a2=1．（1）求an的通项an；（2）证明：32≤1+12an+1an+1<2．19.双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为22，相应于焦点Fc,0c>0的准线l与x轴相交于点A，OF=2FA，过点A的直线与双曲线相交于P，Q两

7、点．（1）求双曲线的方程及离心率；（2）若点B3,0，且BP⋅BQ=0，求直线PQ的方程；（3）设AP=λAQλ>1，点P关于x轴的对称点为M，证明：FM=−λFQ．四、选择题（共1小题；共5分）20."直线与平面α内无数条直线垂直"是"直线与平面α垂直"的______A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案第一部分1.C2.C3.D4.B5.A6.C7.B第二部分8.229.910.3；−2π311.0;q−112.625;192513.46；2第三部分14.（