2015年吉林省长春外国语学校高二文科上学期人教A版数学期末考试试卷

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1、2015年吉林省长春外国语学校高二文科上学期人教A版数学期末考试试卷一、选择题(共12小题;共60分)1.复数3+i1−i=  A.1+2iB.1−2iC.2+iD.2−i2.抛物线y2=4x的准线方程为  A.x=2B.x=−2C.x=1D.x=−13.双曲线x2a2−y2=1的离心率为2,则正数a的值为  A.3B.2C.2D.14.已知椭圆x2a2+y23=1a>3上一动点P到其两焦点F1,F2的距离之和为4,则实数a的值是  A.1B.2C.3D.45.若函数y=ax2+1的图象与双曲线x2−y24=1的渐近线相切,则实数a的值为  A.

2、1B.2C.3D.46.已知函数fx=ex+3,则fx在x=0处切线的方程是  A.x−y+4=0B.x+y−4=0C.4x−y+4=0D.4x+y−4=07.若抛物线y2=4x与直线x−y−1=0交于A,B两点,则∣AB∣=  A.2B.4C.6D.88.fx=x2−alnx在1,+∞上单调递增,则实数a的取值范围为  A.−∞,1B.−∞,1C.−∞,2D.−∞,29.由函数fx=13x3−x2−3x+5的零点的个数是  A.0B.1C.2D.310.函数fx=ex−2x+1在0,1上的最小值是  A.2B.e−1C.3−2ln2D.2−2l

3、n211.函数fx=xlnx的单调递减区间是  A.0,eB.e,+∞C.0,1eD.1e,+∞12.若椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12,则双曲线x2a2−y2b2=1的离心率是  A.2B.52C.72D.3二、填空题(共4小题;共20分)13.复数z=1+ia−i表示的点在第四象限,则实数a的取值范围是 .14.若点P1,m为抛物线y2=2pxp>0上一点,F是抛物线的焦点,若∣PF∣=2,则m= .15.函数fx=ax3+bx+1在x=1处有极大值2,则b−a= .第6页(共6页)16.若A,B是双曲线x2−y23=1上两

4、个动点,且OA⋅OB=0,则△AOB面积的最小值是 .三、解答题(共6小题;共78分)17.若函数fx=ax3+2bx2−4x在x=−2与x=23处取得极值.(1)求函数fx的解析式;(2)求函数fx的单调递增区间.18.已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0经过点0,1,且离心率e=22.(1)求椭圆的标准方程.(2)若直线y=2x−1与椭圆交于A,B两点,证明OA⋅OB=0.19.已知函数fx=x+ax−2,a∈R.(1)当a=4时,求函数fx的极值;(2)若函数在x=1处的切线平行于x轴,求a的值.20.已知椭圆x24+y23=1,A,B

5、分别为其左右顶点,P是椭圆上异于A,B的一个动点,设k1,k2分别是直线PA,PB的斜率.(1)求k1⋅k2的值;(2)若M1,1是椭圆内一定点,过M的直线l交椭圆于C,D两点,若OM=12OC+OD,求直线l的方程.21.若点P1,2,Ax1,y1,Bx2,y2是抛物线y2=2pxp>0上的不同的三个点,直线AP,BP的斜率分别是k1,k2,若k1+k2=0.(1)求抛物线的方程;(2)求y1+y2的值及直线AB的斜率k.22.已知函数fx=lnx−x+1.(1)求函数fx的单调区间.(2)求证:当x>0时,1−1x≤lnx≤x−1.第6页(共

6、6页)答案第一部分1.A2.D3.D4.B5.A6.A7.D8.D【解析】由fx=x2−alnx,得fʹx=2x−ax,因为fx在1,+∞上单调递增,所以2x−ax≥0,即a≤2x2在1,+∞上恒成立,因为2x2>2,所以a≤2.9.D【解析】函数fx=13x3−x2−3x+5,可得fʹx=x2−2x−3,令x2−2x−3=0可得x=−1,x=3,x<−1或x>3时,fʹx>0,函数fx=13x3−x2−3x+5是增函数,x∈−1,3时,fʹx<0,函数fx=13x3−x2−3x+5是减函数,所以fx的极大值为f−1=7−13>0,函数的极小值为

7、f3=−4<0.所以fx的零点个数为3.10.C【解析】fʹx=ex−2,令fʹx=0,得x=ln2<1,当x∈0,ln2时,fʹx<0,fx递减;当x∈ln2,1时,fʹx>0,fx递增.所以x=ln2时fx取得极小值也为最小值,fln2=3−2ln2.11.C【解析】函数fx=xlnx的定义域为0,+∞.fʹx=xlnxʹ=lnx+1.令fʹx<0,即fʹx=lnx+1b>0的离心率为12,

8、可得ca=12,即:a2−b2a2=14,可得b2a2=34,则在双曲线x2a2−y2b2=1中,由b2a2=34,即c2−a2a2=3

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