北京市西城区2009年4月抽样测试-数学(文科) 2009.4

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1、北京市西城区2009年4月抽样测试-数学(文科)2009.4一、选择题（共8小题；共40分）1.已知集合A=x1

2、个C.96个D.120个5.设x，y满足约束条件x−y+1≥0,x+y−1≥0,x≤3,则z=2x−3y的最小值是 ()A.−7B.−6C.−5D.−36.在平面直角坐标系中，A为平面内一个动点，B2,0．若OA⋅BA=OB（O为坐标原点），则动点A的轨迹是 ()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆7.已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是 ()A.存在一条直线b，a∥b，b⊂αB.存在一条直线b，a⊥b，b⊥αC.存在一个平面β，a⊂β，α∥βD.存在一个平面β，a⊥β，α⊥β8.函数fx的定义域为D，若对于任意x1,

3、x2∈D，当x1

4、a为偶函数，则a= ；ffa= ．第9页（共9页）12.设O为坐标原点，向量OA=1,2．将OA绕着点O按逆时针方向旋转90∘得到向量OB，则2OA+OB的坐标为 ．13.已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上．设此正方体的表面积为S1，球的表面积为S2，则S1S2= ．14.如图，从双曲线x29−y225=1的左焦点F1引圆x2+y2=9的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于P点．设M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则F1T= ；MO−MT= ．三、解答题（共6小题；共78分）15.设△ABC的内角A、B、C的对边分

5、别是a、b、c，且a=3，b=5，c=14．（1）求cosC的值；（2）求5−6sinC+π3cos2C的值．16.某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响．（1）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；（2）求男生发言次数不少于女生发言次数的概率．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BCD=90∘，AB∥CD，又AB=BC=PC=1，PB=

6、2，CD=2，AB⊥PC．（1）求证：PC⊥平面 ABCD；（2）求PA与平面ABCD所成角的大小；（3）求二面角B−PD−C的大小．18.设等差数列an的前n项和为Sn，且Sn=12nan+an−c（c是常数，n∈N*），a2=6．第9页（共9页）（1）求c的值及an的通项公式；（2）证明：1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1<18．19.已知椭圆C:x2+y24=1，过点M0,1的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B．（1）若l与x轴相交于点P，且P是AM的中点，求直线l的方程；（2）设点N0,12，求NA+NB的最

7、大值．20.已知函数fx=−x3+ax2+b（a,b∈R）．（1）若a=1，函数fx的图象能否总在直线y=b的下方?说明理由；（2）若函数fx在0,2上是增函数，求a的取值范围；（3）设x1，x2，x3为方程fx=0的三个根，且x1∈−1,0，x2∈0,1，x3∈−∞,−1∪1,+∞，求证：a>1．第9页（共9页）答案第一部分1.C2.B3.A4.B5.B6.D7.C8.A【解析】可得f19=14,f29=14，由于fx是非减函数，可得f18=14．第二部分9.36【解析】由比例可得抽取的中年职工共有12人，青年职工共有18人

8、，于是n=6+12+18=36．10.1011.2；8【解析】由题意，得fx+a=x+a2−4x+a+3=x2+2a−4x+a2−4a+3．因为fx+a为偶函数，所以2a−4=0，解得a=2．12.0,513.2π14.5;2【解析】由勾股定理可得∣F1T∣=∣OF1∣2−∣