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1、巧构三角形妙证不等式28中.7毒幺?7(2010年第11期.初中版)?解题研究?巧构三角形砂证等式324300浙江省开化县第二中学曹嘉兴问题再现设AABC的三边分别为n,b,c,其对应的内角平分线分别为t,t,t,求证:111111——+——+——>——+?+_Ittbt0bc1993年,湖南师范大学匡继昌教授在《常用不等式》(第2版)一书的附录中将该题列为100个未解决的问题(问题42),从而引起了广大数学教师的研究兴趣.迄今为止,虽有多种证法散见于各种数学期刊,但都较为复杂.本文通过构造三角形给出五种
2、仅用到初中数学知识的证法,这也许是该题的最简单证法.证法l如图1,设AD平分LBAC,则LBAD=LDAC.过点D作DE//AB交AC于点E,则LADE=/_BAD,故得LADE=LDAC,所以DE=AE.设DE=AE=,则CE=AC—AE=b—.由ACDEACBA得即解得DECEAB—AC'b—c—b'6c'在AADE中,由三角形的三边关系得AD<DE+.即所以同理可得26cto<—b+—c.1b+C>_.1c+口>,1a+b>_.图1①②③①+②+③得1.11.2(bc+ca+
3、口6)111++>—++_.证法2如图2,设AD平分LBAC,则LBAD=LDAC.过点C作cE//JIB与AD的延长线相交于点E,则E=LBAD,故得E=LDAC,所以cE=AC=b.由ACDE~,ABDA得一DE一AD—AB'即DE=b,'.C解得DE=bt.在AACE中,由三角形的三边关系得AE<AC+cE.即AD+DE<AC+CE,所以f.+Lct.<6+6,解得所以同理可得2bc<,>+'111t>+,^2口2c111t>+2a'26①+②+③得l11l
4、11——+——+——>——+?+_ttbt口bc证法3如图3,设AD平分LBAC,则LBAD=LDAC.过点c作CE//AD与BA的延长线相交于点,则E=/-BAD,/_ACE=LDAC,故得E=LACE,所以AE=AC=b,BE=AE+AB=b+c.由AD—ABEC得即解得ADABCE—BE'tCCE—b+c'CE=了b+c.l,E,,图2C①②③在AACE中,由三角形的三边关系得CE<AC+AE,DC图3'-_,,?解题研究?中'7毒幺??(2010q-g11期?初中版)29即解得所以同理可得①
5、+②+③得f<6+6,n<6+6,2bc<而,{,1ICl1llllt+～th+t>+__b+一C'口证法4如图4,设AD平分LBAC,则LBAD=/_DAC.过点D作DE//AB交AC于点E,则ADE=BAD,故得LADE=LDAC,所以DE=AE.过点c作CF//AB与AD的延长线相交于点F,则F=LBAD,故得F=LDAC,所以CF=AC=b.由ACDE~"ACBA得一DE一AB—AC'由AADE~,AAFC得①+②得即DEAECF—AC'①②③图4LDAC.过点C作CE//AU与
6、BA的延长线相交于点E,则E=/_BAD,LACE=LDAC,故得E=/-ACE,所以AE=AC=b.过点日作BF//AD与cA的延长线相交于点F,厶F=LDAC.ABF=/-BAD,故得F=LABF,所以AF:AB=c.由ABAD△BEC得A—D一丝CE—BC'由ACAD~,△CFB得AD(DBF—BC'①+②得+A—D=BD+CDCEBF=l,.C''即1=1+1BDC图5①②7~EAACE中,由三角形的三边关系得CE<AC+AE,即CE<2b.在AABF中,由三角形的三边关系得①BF<A
7、B+AF,即BF<2c.所以丢=1=壶+1>1+1,③②同理可得>1+1t,④L口C÷>1+1.⑤>+.③+④+⑤得111111——+——+——>——+●+_.ttLt口bc在AADE中,~a--角形的三边关系得AD<DE+AE,即AD<2DE,所以÷>=1+1.③同理可得÷>1+1,④>1+1.⑤>+'③+④+⑤得l1l1l1t+t+t>一a+一b+__n6C证法5如图5.设AD平分LBAC.则BAD=启示在几何不等式的证明中,大多
8、采用三角方法或代数方法,而用纯几何方法往往被认为是困难而麻烦的,但从本题看来,对于某些看似困难的几何不等式,通过构造适当的图形(如三角形)用纯几何方法来证明也是非常简捷的.参考文献1匡继昌.常用不等式(第2版)[M].长沙:湖南教育出版社,1993,52成萱.关于三角形角平分线的一个猜想的证明[J].中学数学(湖北),1994,5(收稿日期:20101010)一●一●一+++●一●一.
