北京海淀区高三数学一模理科试题及答案

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1、高三数学（理）试题答案第11页共11页高三数学（理）试题答案第11页共11页高三数学（理）试题答案第11页共11页海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）答案及评分参考2015.4高三数学（理）试题答案第11页共11页一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A（2）C（3）D（4）B（5）A（6）D（7）C（8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）（10）（11）（12）或（13）（14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为………………2分.所以.………………4分令，得：.………………6分

2、所以的最小正周期为，对称轴的方程为.（Ⅱ）.………………9分令，得：.所以的单调递减区间为.………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）；………………2分.………………4分（Ⅱ）设事件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱.则，.………………6分高三数学（理）试题答案第11页共11页所以.………………8分（Ⅲ）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3.………………9分，，，.所以的分布列为01230.3430.4410.1890.0

3、27………………11分所以的数学期望.………………13分另解：由题意可知.所以的数学期望.………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）证明：因为四边形为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.………………2分因为平面，所以.………………4分（Ⅱ）解：如图，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则高三数学（理）试题答案第11页共11页.所以，，.………………6分设平面的一个法向量为.由得令，得，所以.………………8分设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.………………10分（Ⅲ）解：直线与直线平行.理由如下：………………

4、11分由题意得，.所以.所以.………………13分因为，不重合，所以.………………14分另解：直线与直线平行.理由如下：取的中点，的中点，连接，，.所以且.高三数学（理）试题答案第11页共11页因为为的中点，四边形是正方形，所以且.所以且.所以为平行四边形.所以且.因为四边形为梯形，，所以且.所以四边形为平行四边形.所以且.所以且.所以是平行四边形.所以，即.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）.………………2分（ⅰ）当时，，则函数的单调递减区间是.………………3分（ⅱ）当时，令，得.当变化时，,的变化情况如下表↘极小值↗所以的单调递减区间是，单调递增区间是.………………

5、5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，函数在区间内是减函数，所以，函数至多存在一个零点，不符合题意.………………6分高三数学（理）试题答案第11页共11页当时，因为在内是减函数，在内是增函数，所以要使，必须，即.所以.………………7分当时，.令，则.当时，，所以，在上是增函数.所以当时，.所以.………………9分因为，，，所以在内存在一个零点，不妨记为，在内存在一个零点，不妨记为.………………11分因为在内是减函数，在内是增函数，所以.综上所述，的取值范围是.………………12分因为，，所以.………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得：………………3分解得：所以椭圆的方程为.………

6、………4分（Ⅱ）不存在满足题意的菱形，理由如下：………………5分假设存在满足题意的菱形.高三数学（理）试题答案第11页共11页设直线的方程为，，，线段的中点，点.………………6分由得.………………8分由，解得.………………9分因为，所以.………………11分因为四边形为菱形，所以是的中点.所以点的纵坐标.………………12分因为点在椭圆上，所以.这与矛盾.………………13分所以不存在满足题意的菱形.（20）（共14分）解：（Ⅰ）由①，得.由②，当，，时.,,中至少有一个是数列，，，中的项，但，，故，解得.经检验，当时，符合题意.………………3分（Ⅱ）假设是数列中的项，由②可知：6，10

7、，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且.由①，.………………4分对于数，由②可知：；对于数，由②可知：.………………6分所以，这与①矛盾.所以不可能是数列中的项.………………7分高三数学（理）试题答案第11页共11页（Ⅲ）的最大值为，证明如下：………………8分（1）令，则符合①、②.………………11分（2）设符合①、②，则：（ⅰ）中至多有三项，其绝对值大于1.假设中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设，，，是中绝对值最大的四项，其中.则对，，有，，故，