杨辉三角与二项式系数的性质ppt

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1、一般地，对于n∈N*有二项定理:二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？45下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性《详解九章算法》中记载的表杨辉杨辉三角(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?①每行两端都是1Cn0=Cnn=1②从

2、第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++展开式的二项式系数依次是：从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：当时，其图象是右图中的7个孤立点．（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：（2）增减性与最大值由于：所以相对于的增减情况由决定．由：可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇

3、数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。（2）增减性与最大值（3）各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：（1）一般地，展开式的二项式系数有如下基本性质：（2）（4）（3）当n为偶数时，最大当n为奇数时，=且最大（对称性）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行1461第5行151第6行161561第n-1行11第n行11…………………………………第7行172121711035++++=3551520104“斜线和”=125第5行15101051第6行1615201561第7行172135352171第1行1

4、1第0行1第2行121第3行1331第4行14641……138132134如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第8行18285670562881从第三个数起，任一数都等于前两个数的和，这就是著名的斐波那契数列，也称为兔子数列。斐波那契数列斐波那契（11701250）意大利商人兼数学家,他的著作《算盘书》中,首先引入阿拉伯数字，将“十进制”介绍给欧洲人认识，对欧洲的数学发展有深远的影响。例1证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令，则：已知求:(1)；(2)；(3);(4)变式:若将“只有第10项”改为“第1

5、0项”呢？解类型：求展开式中系数最大的项方法:利用通项公式建立不等式组变式练习：在(3x-2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项.解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则即3(r+1)>2(20-r)解得2(21-r)>3r所以当r=8时，系数绝对值最大的项为(1)二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想a单调性；b图象；c最值.小结2.求证：