“杨辉三角”与二项式系数的性质

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1、1．3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数．2．理解二项式系数的性质并灵活运用．课堂互动讲练知能优化训练1．3.2课前自主学案课前自主学案温故夯基知新益能等距离递增递减2n1．二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？提示：不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n＋1行与杨辉三角中的第n行对应数值相等．问题探究2．观察杨辉三角，归纳猜想出第几行的各个数字都是奇数？提示：从表中可看出第一行、第二行、第四行、第八行…都是奇数，归纳

2、得出第2n－1行(n＝1,2,3…)都是奇数．课堂互动讲练考点一与“杨辉三角”有关的问题解决与“杨辉三角”有关问题的一般方法是：观察——分析——试验——猜想结论——证明，要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，依靠观察能力，注意观察方法：横看，竖看，斜看，连续看，隔行看，从多角度观察．考点突破如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19.例1【思路点拨】解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，利用组合的性质求和．在(a＋b

3、)n展开式中，对a、b赋予特定的数值，便得到某些系数和．设(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2011·x2011(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2011的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2011的值；(3)求

4、a0

5、＋

6、a1

7、＋

8、a2

9、＋…＋

10、a2011

11、的值．考点二二项式系数和的问题例2【思维总结】“赋值法”是解决二项式系数和问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．互动探究1本例条件不变，问题改为：求(a0＋a2＋…＋a2010)2－(a1＋a3＋…＋a2011)2的值．解：(a0＋a2＋…＋a2010)2－

12、(a1＋a3＋…＋a2011)2＝[(a0＋a2＋…＋a2010)＋(a1＋a3＋…＋a2011)]×[(a0＋a2＋…＋a2010)－(a1＋a3＋…＋a2011)]＝(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011)×(a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010－a2011)＝(－1)×32011＝－32011.此问题既要分析二项式的形式，又要区分二项式系数与系数的概念．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．考点三二项式系数的最值问题例3【思路点拨】根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性，确定出二项式系数最大

13、的项．【思维总结】求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的．需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式、解不等式的方法求解．变式训练2求(1－2x)8的展开式中系数最小的项．方法技巧1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．方法感悟2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．如例2如：x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，求a0＋a1＋a2＋a3时，可令x＝3.失误防范1．区分开二项式系

14、数与项的系数．2．求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0,1,2，…，n}的范围．知能优化训练