可口可乐易拉罐

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1、可口可乐罐头为什么是这种样子问题可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少?为什么?它们的形状为什么是这样的?知识准备体积给定的圆柱体,其表面积最小的尺寸(半径和高)为多少?表面积用S表示,体积用V表示,则有：它顶盖的直径和从顶盖到底部的高:约为6厘米和12厘米.中间胖的部分的直径约为6.6厘米，胖的部分高约为10.2厘米.可口可乐饮料罐上标明净含量为355毫升(即355立方厘米).简化模型——分析和假设：首先把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的

2、.要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比.实际上，饮料罐的形状是绕其中轴线旋转而成的立体图形。用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬(厚,因为要使劲拉),假设除易拉罐的顶盖外,罐的厚度相同,记作,顶盖的厚度为.想象一下,硬度体现在同样材料的厚度上(有人测量过,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍).因此,我们可以进行如下的数学建模.这时必须考虑所用材料的体积.设饮料罐的半径为r（因此，直径为d=2r）,罐的高为h.罐内体积为V.b为除

3、顶盖外的材料的厚度.其中r,h是自变量,所用材料的体积SV是因变量,而b和V是固定参数,是待定参数.饮料罐侧面所用材料的体积为饮料罐顶盖所用材料的体积为饮料罐底部所用材料的体积为所以,SV和V分别为,因为b<

4、问题)从解,代入S,使原问题化为：求d:h使S最小,即,求r使最小.求临界点:令其导数为零得解得临界点为因此测量数据为h/d=2,即,即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍.为验证这个r确实使S达到极小。计算S的二阶导数所以,这个r确实使S达到局部极小,因为临界点只有一个,因此也是全局极小.验证和进一步的分析：有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的3倍.如果易拉罐的半径为3厘米,则其体积为即装不下那么多饮料，为什么？模型到底对不对?按照,V=365立方厘米,可以算得r=3.074厘米.一种可能的考虑.

5、粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米，下底半径为3.3厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.验证通过测量重量或容积来验证.我们可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克.测量结果为:未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐确实重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料,而是

6、留有10立方厘米的空间余量.探讨更有意思的是,计算饮料罐的胖的部分的直径和高的比为6.6/10.2=0.647,非常接近黄金分割比0.618.这是巧合吗?还是这样的比例看起来最舒服,最美?探讨此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为3+0.4+0.2=3.6平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为0.3,这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)很牢固、耐压.所有这些都是物理、力学、工程或材料方面的要求,必须要有有关方面的实际工作者或

7、专家来确定.因此,我们可以体会到真正用数学建模的方法来进行设计是很复杂的过程,只依靠数学知识是不够的,必须和实际工作者的经验紧密结合.考虑实际所用材料的模型实际上,顶盖的半径为r+0.6厘米,而正圆柱的高为h+0.6厘米.因此问题化为:当V固定时,求d:h使S最小.我们从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题,即现尽管三次方程求根有公式,但是很繁琐,而且最终还是要数值求解.还不如直接把数值代入,用数学软件(例如,Mathematica,Matlab)来求数值解.由于V=36

8、5立方厘米.即，r≈2.9，,所以，h:d≈2.4,高是直径的2.4倍!