哈密尔顿系统有限元守恒性和辛性质

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1、啥密尔顿系统有限元的守恒性和辛性质§o．1中文摘要哈密尔顿系统是最重要的动力系统．冯康院士曾指出，一切真实的无耗散的物理过程都可表示为这样或那样的Hamilton形式，它们都是常微分或偏微分方程组．Hamilton系统有两个最重要的特性：守恒性和辛结构．在数值计算中能否保持这些特性具有重要意义．1983年冯康研究此问题，他惊讶地发现，此前这里竟是一片空白，许多经典的算法都不适应，计算几万步后有时已面目全非．他1984年首创性提出辛差分算法，并作了深入系统的研究，开辟了一大片研究新领域．以后国内外许多学者作了多方面推广和广泛应用．冯康的这项

2、首创工作得到了国际一致公认．但是任何离散算法，一般不可能同时保辛又保能量(Ge-Masden定理)．辛差分算法很好地保辛，但只在格式精度意义下保能量．而许多学者认为，有时保能量更重要．因此我们转向有限元法，却发现至今有关研究极少．而我们的研究表明，有限元总是保能量的，对线性系统也是辛的，对非线性系统是高精度保辛的，而且长时间计算稳定且精度高，效果非常好．这些结论已刻划了有限元的基本特征．因此有限元法是与辛差分算法完全不同的另一种算法，从另一方面弥补了辛差分算法的不足．本研究是对辛算法的一次重要推进．本文主要创新点如下：(1)．首次系统深入

3、研究任意m次有限元解非线性Hamilton系统，证明了在任何节点上能量总是守恒的，因此在相平面上轨道总是稳定的．并首次提出用超收敛分析方法研究有限元的辛性质；(2)．对线性Hamilton系统的任意m次有限元，得到了一个深刻的高阶超收敛o(^拥+1)新估计，首次证明m次有限元的节点值是2m阶对角Pdde逼近，因而是辛格式．此结果与冯康等研究的辛差分格式结论一致；(3)．对非线性Hamilton系统的任意m次有限元法，构造了新的辅助问题，并得到误差估计和负范数估计，首次证明m次有限元对每一次步进是高精度D(_『12m+1)意义下近似保辛的．

4、(4)．在物理平面上考察了轨道在长时间计算中的性态，发现虽然轨道形状改变很小但轨道在平移，并首次证明轨道平移和周期偏离与计算步数成正比．这种不良的性质以前没有引起注意和研究．(5)．对冯康院士提出的若干重要考题，如谐振子，高低频混合线性系统，非线性Huygen8振子，具有混沌现象的Henon—Heiles系统，AzB分II·湖南师范大学2007届博士学位论文子反映系统经典轨迹计算等，用2次有限元及4‘阶辛差分格式作了对比计算．计算结果与理论分析吻合，而且计算效果非常好，在某些方面优于同阶辛差分算法．这证实有限元解Hamilton系统有极好

5、的应用前景．关键词：哈密尔顿系统；连续有限元法；超收敛分析；能量守恒；辛性质．哈密尔顿系统有限元的守恒性和辛性质§0．2AbstractHamiltoniansystemisthemostimportantdynamicsystem．FengKanghaspointedout，alltherealphysicalprocesseswithnegligibledissipationcanbe瞬pressed，insomewayororther，insuitableHamiltenianforms．Theyareordinarydiffere

6、ntialorpartialdifferentialequations．Hamiltoniansystemshavethetwomostimportantcharacteristics：conservedpropertiesandpreservesymplecticstructuresofflow．Thesecharacteristicsc姐bemaintainedinthenumericalcalculationisofgreatsignificance．FengKangresearchedonthisquestionin1983sta

7、tedthathewassurprisedtodiscoverthatpreviouslywasnon-existenthere，andmanyclassicalgorithmdonotmeetthesecharacteristics．Ithasbeenalreadychangeduurecog-nizableaftertensofthousandsofstepscalculated．Hefirstputforwardsymplecticdi伍erencealgorithmresearchin1984，andthedepthstudyop

8、enedupavastnewareasofresearch．Manydomesticandinternationalscholarsdidtheworkinmanyaspectsandexte