一个新对数weibull分布的统计推断

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1、上海师范大学硕士论文第二章对数Weibull分布简介2．1LW(,t，垅)分布第二章对数Weibull分布简介2．1．1对效Weibull分布的定义若一个函数具有如下的形式：F(x)=1一exp{-【ln(1+彳x)】”}x≥o，元>0，垅>0(2．1．1)可以验证上式具有如下三条基本性质n¨：l、单调非降性：由于exp{-On(1+触)】卅}对x≥o为单调减函数，从而F(z)为单调增函数。2、有界性：对协≥0，有0≤F(x)≤1，且F(+o。)=limF(x)=1F(O)=lim．F(x)=0J—’+∞J—'U3、右连续性：F(x+0)=F(x)因此，F(x)

2、是一个分布函数。设随机变量X具有如上的分布函数，则称X服从对数Weibull分布，记为X～LW(x；2，朋)，其对应的密度函数为：厂(x；兄，聊)=旦l+Ax【ln(1+触)r1exp}-[1n(1+触)】”)，x≥o，五>。，m>o(2．1．2)失效率函数为：撒)=篇=急呻胁)】川，x>O,A>O,m>O弦¨，若令】，=ln(1+AX)，则E(y)=尸(】，≤y)=P(1n(1+2X)≤y)=1-e-ym,Y≥0即】，服从Weibull分布。2．1．2LW(A，聊)分布不同情况下的密度函数图象定理1：对数Weibull分布的密度函数图像在0

3、而在m>1时，呈先增后减形。4上海师范大学硕士论文第二章对数Weibull分布简介证明：+志(朋_1)【111(1胁)]m-2e_[in(1+2x)r'一等№坩～P-【岬胁)r=南【ln(1他汗～P巾(1+圳”[m-l-ln(1协一呲1圳】”]令g(x)=m一1一ln(1+兄x)一垅【111(1+旯x)】”，x≥0(1)当0

4、】)=Alim厂(x)=lim_—兰-exp{-[1n(1+五x)】)=0X--’+ooX---)．+oOI+)ix易知：g(x)<0，从而f’(x)<0，所以厂(x)单调递减。(3)当m>1时脚似)=l洲im1讹Am。[1n(1讹)]m-,exp{一[1n(1胁)】”)：lim苎竺【!呈!：±兰兰!]：：!i：oJ。。(1+五x)exp{[1n(1+名x)】”}～lim。f(x)=⋯limw胁Am)e[1xp{[1n(1+n／丑(X。)+]m五-币I。-÷+。。_÷+。(1+九x)exp{Iln(1+五x)r}：lim塑!竺二!上!；：0j++。(1+旯x)e

5、xp{[1n(1+五x)】”}19(x’其中19(x)是关于x的函数，，1．im+。,9(x)=+∞·gb)一志崭咖+触)]m-l志0，^—7vlimg(x)=．--．oo，则存在Xo，0<％<佃，有J—'Ⅷg(Xo)=0，当00，而当x>Xo时，g(x)<0．所以当00，3X-而f(x)单调递增；当x>％时，厂’(x)<0，Aki而f(x)单调递减。图2．1．1画出了当m=1／2，1，2，3，名=1时的密度函数图

6、像：图2．1．1：当兄=1，m取不同的值时，密度函数f(x)图像图2．1．2画出了当m=1／2，1，2，3，允=2时的密度函数图像：6口上海师范大学硕士论文第二章对数W硪m11分布简介图2．1．2：当旯=2，m取不同的值时，密度函数f(x)图像2．1．3、失效率函数r／(x)的单调性和图像定理2：对数Weibull分布的失效率函数图像在01时，呈先增后减形。证明：机加高呻圳r2[m-l-In(1讹)】(1)当0

7、M刎卜⋯lim。雨南2。又m—l—ln(1+触)<0，从而r／’(x)<0，所以刁(x)为单调递减函数(2)当m=l时l棚im撒)=蛳熹=九⋯lim砸)=熙熹=。易知77’(x)<0，所以r／(x)为单调递减函数．(3)当m>l时7上海师范大学硕士论文第二章对数Weibull分布简介li翼五(x)=lim黑陋(1+缸)】加1：oHo～x-oOI+2x。、”觋兄(曲=熙罴[1n(1+∽】川=热型气≯=o令，7，(x)：o得方程：聊一1一ln(1+触)：o，从中解得：x。：竺：兰几当x<‰时，77(x)>0，rl(x)单调递增；当x>Xo时，，7’(功<0，r／(x

8、)单调递减。口图2．1．