质环的交换性

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1、摘要环作为一门重要的代数学科是代数几何和代数数论的基础，有许多其它相关学科领域都涉及到环。随着科学技术的不断发展，环理论进展越来越大，越来越越精确和完善，并且环的初步结果已在实践中得到应用。交换性是环的重要性质之一，交换性的研究有助与其它性质的探讨。同时，交换代数本质上是研究交换环的。本文对特征非2的半质环的交换性和半质环中心元与交换性进行了讨论。主要结论分为以下几部分。一、对于特征非2的半质环R，有下面结论：设n∈R，n2≠0．若满足下列条件之一，则R交换．1、口2工2+甜2口∈Z(尺)，h∈R；2、工2口2+船2z∈Z(R)，V石∈R．

2、其中z(R)表示R的中心(下同)。二、关于半质环的中心元与交换性有下面结论：1、设口∈月，且2口为非零因子，若对№∈置，有(加)2+工2口2∈z(R)，则R为交换环；2、设4∈R，且2a为非零因子，若对搬ER，有(M)2+d2工2∈z(尺)。则R为交换环；3、设口∈茂且2口为非零因子，若对坛ER，有(埘)2+期2x∈z(R)。则R为交换环；4、设口ER，且2D为菲零困子，若对骶∈R，有(期)2+“2口Ez(足)·则R为交换环．关键词：半质环环的特征中心元交换性CommutativityonSemi—primeRingAbstract^san

3、impDrtantalgebr8icsubject，ringsarethebaseofAlgebr8icGeometryandAlgebraicTheory．Ringsareconcernedaboutmanyothersubjects．■ithdevelopmentofscienceandtechnology，theoryofringsisincreasin91y8ccurateandperfect．Preliminaryresultsofringshavebeenappliedinpractice．Consequencely，prope

4、rtyofringsneedtobeinvesti98ted．CommutativityisOneofimportantpropertiesofrings．Studyofcommutativityisbeneficialtodiscussionofotherpropertiesofrings．Atthesametime，comⅢutativeringsarestudiedinCommutative^lgebra．Therefore，studyofthecomm_llt龟tivityofringsbecOmemoreandmoreimport

5、ant．Themainresultsinthispaperasf0110w：1、LetRisse皿ipri趣eringwithch8racteristi2andz(R)bethecenterofR，ifRsatisfiesoneofthefollowingcondtio九s。thenRiscommutative．题)n∈R，口2≠0，forall互∈R，口2工2+甜2口￡z(JR)；(岔口∈犬，口2≠O，forall工∈胄，x2口+期2工∈Z(R)．2、LetRisse皿iprimer王ng，丘∈Rand2矗isnotzerodivisor

6、。ifRsatisfiesoneofthefollowingconditions，thenRiscommutBtive．1)for81l膏ER，(期)2+x2口2EZ(尺)；2)for8ll工∈R，(翮)2+口222∈Z(R)；3)fora11工∈R，(搬)2+搬2工∈z(尺)；4)forallJ∈尺，(．xⅡ)2+娃x2口∈z(尺)Keywords：semi—primering；characteristicR；center—e1emene：commutativity引言第一章引言环作为一门重要的代数学科是代数几何和代数数论的基础，有许多其

7、它相关学科领域都涉及到环．随着科学技术的不断发展，环理论进展越来越大越精确和完善，并且环的初步结果已在实践中得到应用．交换性是环的重要性质之一，交换性的研究有助于其它性质的探讨．同时，交换代数本质上是研究交换环的．有关环的交换性的提出是源于1905年wedderburn定理“有限体必为域．”Jacobson定理推广为“如对环R的每个元素a，有自然数n(a)，使口巾’=口．则R是交换的．”继Jacobson之后，许多数学工作者做了大量的工作，特别是Herstein在环的交换性方面得到了许多重要的结论．Herstein证明了：如果对地，y∈R，

8、有n(工，y)>1，使工“‘’’一与y可交换，则R是交换环．其后Herstein证明了：环为交换的必要而且只要对帆，y∈JR，有n(z，y)>l，使(掣一∥)“‘”’=秽一弦．H