带约束的各类曲面逆向设计和曲线降价逼近

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1、摘要带约束的各类曲面逆向设计和带约束的曲线降多阶逼近是计算机辅助几何设计(cAGD)领域中具有重要研究价值的两类基本问题．cAGD中绝大数操作都是以曲线曲面为对象的，而无论在工业制造等领域有潜在应用价值的带有特殊曲线约束的各类曲面的逆向设计，还是在数据压缩和传递中起重要作用的带有端点高阶约束的曲线降多阶逼近，都是近年来cAGD学术界的研究热点及难点之一．这里所谓的特殊曲线约束，系指把一条或两条已知参数曲线，作为目标曲面的测地线、曲率线、渐近线或边界线；这里所谓的曲面逆向设计，系指对传统的几何计算反其道而行之，并非对已知的曲

2、面求它的测地线、曲率线、渐近线或边界线，而是把已知曲线作为潜在公共特殊曲线反求曲面束，曲面束中每张曲面均以已知曲线为其测地线、曲率线、渐近线或边界线，使用户有无穷多个候选曲面可供挑选；这里所谓的各类曲面，系指曲面允许有可展、有理、有理可展、离散极小等多种类型．由此可见，本文立意与构思是颠复常规与叛逆传统的，因而是新颖的，对CAGD无疑具有很好的理论意义与应用价值．本文围绕以上两类问题展开深入研究，取得以下丰富的创新成果：l、保端点高阶导矢插值的wsGB曲线的显式最佳降多阶．wsGB曲线与Ⅸzier曲线是兼容的，并且在求值方

3、面要优于B亡zier曲线，因此对其降阶逼近的研究是有实际意义的，本文在这方面主要贡献有两点，其一、根据对偶基的理论推导了wan争Said型广义Ball(wsGB)基与幂基之间的转换矩阵；其二、根据此转换矩阵，实现了对WSGB曲线在厶范数意义下保端点高阶导矢插值的显式最佳降多阶逼近，该降阶逼近算法具有显式表示、端点约束、逼近最佳、先验误差估计、一次性降多阶等多种优点．2、带有空问闭折线为边界线约束的离散极小曲面的设计．寻找以某条给定的空间闭折线为边界的一个三角网格，使得在所有具有这条相同边界的网格中，其总面积为最小，这个问题

4、被称为Phteau-Mesh问题．以往的文献采浙江大学博士学位论文用网格面积最优化来实现，然而从函数角度来说，其构造方法仅得到了网格面积函数的局部极小值，但未必是全局极小值．基于此，本文采用最优化离散平均曲率来构造极小三角网格，给出了网格曲面平均曲率的求导公式，完成了编程实现和误差分析，实例结果表明该算法是正确和有效的．3、以已知的一条或两条曲线为测地线的可展，有理以及有理可展曲面的设计．利用局部Frenet正交标架，给出了过给定一条空间曲线作为公共测地线的有理B6zier可展等参曲面束的显式表达，讨论了插值平面和非平面的

5、已知曲线作为测地线的有理可展曲面的阶，给出了其控制网格顶点的计算公式，最后实现了插值2次或3次Bezier曲线作为测地线的曲面束的编程实例，验证了算法的有效性；利用3次Hermite基函数，给出了插值给定两条空间雕zbr曲线(彼此可相交或不相交)为测地线的有理B6zier等参曲面的构造算法，对两条测地线为3次B6zier曲线，有理Bezier等参曲面为3x6次的情形j给出了控制顶点的显式表达，并展示了在两条B6zier测地线相交或不相交的具体条件下的众多求解实例；给出了同时满足过给定两条等参曲线(彼此可相交或不相交)为测地

6、线和曲面可展这两个约束条件的参数曲面的统一表达形式以及完成构造所需要的充分必要条件，针对三类可展曲面，展示了大量的编程实例．这些工作为工业领域中需要满足曲面可展且已知曲线为其测地线的一类复杂几何模型的表示提供了算法．4、以已知一条曲线为曲率线的可展曲面的统一表达式以及有理可展曲面的设计．利用Frenet局部正交标架，给出了以一条任意参数曲线为其公共曲率线的可展曲面束的统一参数表达式，同时讨论了表达式中两个自由变量的选取对最终可展曲面的类型所产生的影响，导出了插值一条给定B6zier曲线为公共曲率线的有理Ⅸzier可展曲面束

7、的精确表示存在的充要条件，最后展示了分别以圆、螺线、平面B6z研曲线或者空间B6zier曲线为曲率线来构造一般可展曲面束或有理可展曲面束的编程实例，从而验证了算法的正确性和有效性．5、以已知一条或两条正交曲线为渐近线的可展、有理可展以及一般曲面束的设计．给出了以一条任意参数曲线为其公共渐近线的一般可展曲面束的表达式，并讨论了所设计的可展曲面柬的类型，进一步推导了插值给定一条摘要雕z衍曲线为其渐近线的有理B6zier可展曲面束表达式，分别展示了以圆柱螺线、圆锥螺线和B亡zier曲线为渐近线的一般可展曲面以及有理B6zier可

8、展曲面的编程实例；在以给定两条正交曲线为渐近线设计曲面柬方面，利用曲线F陀net局部正交标架和3次Hermite基函数，分别讨论了当给定两条正交曲线曲率均为零、其中一条为曲率零另一条不为零、两条曲率均不为零的三类情形的曲面束设计算法，并给出了两条正交曲线为有理Bezier曲线时，这类曲面束的设计算法，通