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1、2006年第15期数学通讯1基于APOS理论的数学概念教学探究张伟平(华东师范大学数学系博士生,上海200062)中图分类号:O12-42文献标识码:A文章编号:0488-7395(2006)15-0001-04数学概念探究课大体存在两种倾向,一种是来获得,这一获得有时是显而易见,有时来自于记只注重知识的来龙去脉的完整探究,而不关注学忆.这里的活动泛指所有的数学活动,如猜想,生认知发展,探究过程太原始而烦琐,学生早回忆,计算,推理等.而不是仅仅指学生的肢体动已领会,什么都要算一算,量一量,回归到尼罗河作
2、.比如,学生学习勾股定理:学生可以通过经验,[1]时代另一种是去数学化的探究,注重学生动计算,观察图形,猜想等一系列外部活动得出两个手,讨论,情景设置等外部探究活动,忽略了数学直角边的平方和等于斜边的平方的结论.刚开始本身的内在本质特点.结果探究归探究,数学归数这个结论在个体头脑中留下印象,但只是外部的学,二者相背离.怎样将数学知识和探究活动有效记忆性的印象,离不开计算等外部刺激.结合?APOS理论是基于个体数学概念学习的心当活动(action)不断地被个体重复并反省理学理论,笔者以为,基于APOS理论设计数学概它,动作已经自动化了,不再需要外部刺激,个
3、体念探究教学或许是一个有益的尝试.已经形成内部构造时,活动就内化为过程1APOS理论概述(process).表现为个体能够从逆向推导数学概念,APOS理论是个体数学学习理论,是美国数学并构造更复杂的活动.比如,学生能够根据两个教育学家EDDubinskey根据他对高等数学思维的直角边的平方和等于斜边的平方,反推三角形是研究,在Piaget的关于个体思维的反省抽象理论直角三角形.学生这时对勾股定理的认识已经提基础上提出的.他的理论阐述了个体认知数学概高,内部已经形成了关于它的一系列结论,不需要念的过程,对于数学学习特别是高等数学有指导计算验证等外部刺激
4、就能理解勾股定理.性的作用.由于APOS理论广泛地应用于高等数学当个体将过程(process)看作一个整体,并可的各个学科,并得到实验验证,它的科学性得到了以对它变形,这时过程就凝聚成对象(object).美国同行的肯定,在80年代美国的微积分课程改比如,学生将勾股定理以及边角关系,以及勾股定革中,APOS理论是具备协调的认知理解的课程理的逆定理看作一个系统,能整体把握系统,并区项目的唯一理论基础.后来加拿大的SimonFraer别各个关系.学生这个时候已经不再关注计算,而大学的RiaZazkis研究表明,APOS理论同样适用是关注直角三角形本身.
5、表现在学生在题目中能于基础数学的学习.因此,APOS理论成为个体数正确区分直角三角形变式.学学习的重要理论之一.如图1,学生能结合圆的APOS理论源于Piaget的关于个体认知的反省相关知识判定图中的三个直抽象理论,提出个体对数学概念的认知的四个阶角三角形.学生能抓住直角三段,活动,过程,对象,图式,笔者结合勾股定理阐角形的本质特征,形成了直角述四个阶段的具体涵义如下:三角形的对象(object),而不活动(action)是个体对数学对象进行变受图形位置干扰.图1圆形,一般来自外部刺激,通过学习一步步动作指示数学概念的图式收稿日期:2006-06
6、-032数学通讯2006年第15期(skema)是指个体的活动,过程,对象以及引入新课:与一定点距离和一条定直线距离与之相关的其它数学概念的图式的集合体.这比是常数e的点的轨迹.当e<1是椭圆,e>1时时在个体的头脑中形成一个协调的网络,还可能是双曲线,e=1时是什么曲线?(让同学们看课件会记住与概念相关联的问题情境.这个协调的网抛物线定义部分,然后让学生回答给出抛物线定络在某种意义上能明确地或隐含地决定哪些现象义)是图式的范围,那些现象不是.个体理解协调网如图3,平面内与一个络的关键是结点的联结.比如,形成了图式
7、的勾定点F和一条定直线l的股定理是集直角三角形,边边关系,边角关系系距离相等的点的轨迹叫抛统,内部和谐统一.形成了图式的个体很自然地物线.想到在四边形里添辅助线转化成直角三角形应用结合课件,让学生推勾股定理,因为他能够判断四边形不属于这个直导抛物线方程,让学生自角三角形图式.己总结,写出抛物线的其个体刚开始可能从局限于某个特殊的公式或它几种形式,教师总结如图3抛物线计算来思考某个概念的活动过程,对象,下:图式,随着个体思维的发展,又回到新的活动阶段,形成关于这个概念更复杂的图式.比如学生在高中学习了三角函数后,重新回到直角三角形,
8、发展了直角
