我的教学故事概率中的易错问题

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1、概率中的易错问题在学习概率这一章节时，有这样一个问题：甲、乙射击命中目标的概率分别是与，求甲、乙各射击一次，命中目标的概率是多少？吴同学利用公式P（A+B）=P（A）+P（B），求得P（A+B）=+=，发现与书后答案不符，再换用公式算得答案也不对，于是问同桌的李同学。李同学：你用的是互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，问题是这里的事件A+B表示什么？A、B两个事件是否互斥或者独立？（思考了好长时间，李同学没能说出所以然）吴同学没办法，课外活动时到办公室请教老师。周老师：你为什么用加法公式？吴同学：我看甲、乙射击是互斥事件。周老师

2、：那你说什么是互斥事件？吴同学：老师上课时讲过，不可能同时发生的事件是互斥事件。周老师：如果A、B是互斥事件，那么事件A+B表示两个事件有一个发生，应该是恰好有一个发生吧？甲射中目标与乙射中目标不能同时发生吗？如果依你的算法，概率反而小了，那么两个人击中还不如一个人击了。吴同学：噢，不对了！应该是独立事件。原来独立事件与互斥事件是两码事！周老师：是啊！你再想想什么是独立事件？吴同学：一个事件发生的概率对另一个事件发生的概率没有影响，这两个事件就是独立事件，从定义上看，两人射中目标的概率不受影响，是独立事件，后者怎么会错了呢？周老师：你看表示什么？又表

3、示什么？吴同学：表示A与B同时发生这一事件；本题中表示甲、乙同时命中目标的概率。是啊，甲、乙同时命中目标的概率肯定比甲、乙单独命中目标的概率要小！周老师：这个问题让我们求什么？吴同学：求各射击一次，命中的概率。是啊，不是求甲、乙同时命中的概率。那怎么求呢？周老师：你能不能找出待求概率的事件的对立事件？吴同学：这个，是甲、乙各射一次，同时不命中的概率，即，对了，可以求了。—3—（接着写出了正确的答案）P==至此，周老师完成了为吴同学的“排忧解难”工作，获得了正确答案。但周老师认为，上述过程还没有将吴同学的问题彻底解决！事实上，吴同学来问的是对公式P（A

4、+B）=P（A）+P（B）=+=还没把握好，自己对这个算法错在哪里还没说明清楚。刚才只不过是换了一种方法求出了结果（尽管解决该类问题的简便方法应当是“正难则反”的间接法，这里称为利用对立事件）周老师被吴同学的这种好学精神所感动，更重要的是为了使国家倡导的研究性学习真正落实到实处，周老师对其介绍了P（A+B）的正确公式。首先周老师将A+B等价变形为。对于这个变形，周老师解释：前者表示两个事件A、B中至少有一个发生；后者表示A发生但B不发生，A不发生但B发生，A、B都发生三个事件中至少有一个发生，显然两者等价。又右侧的三个事件显然两两互斥。其次周老师还向

5、吴同学特别指出，上述是至少问题的常见变形。例如，事件A、B、C中至少有一个发生就等价于三个中恰有一个发生、恰有二个发生和三个都发生。周老师同时要求吴同学写出相应的等式，以训练其等价转化能力。然后周老师给出了如下的推导过程：事件两两互斥，=。当A、B独立时，则、也独立，因此有P（A+B）===，这就是两个独立事件至少有一个发生的概率公式，它与两个集合的并集的元素个数公式类似，很容易记忆。接着周老师要求吴同学运用这个公式解答上述问题。答案为P（A+B）==+。最后周老师指出：事件A+B与是对立事件，当A、B独立时，有=如果将上述公式推广到三个事件，那么我

6、们有：结论：若A、B、C是三个相互独立的事件，则有—3—周老师强调：这个公式在解高考题中很有用，同时给出如下例题供吴同学训练，并要求吴同学做好后交给他。例（05年全国高考卷Ⅲ）：设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125。（1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少？（2）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率。晚自修上课前，吴同学将下面的答案交给了周老师，答案完全正确。解：记“机器甲需要照顾”为事件A，

7、“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C。由题意，甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件。（1）由已知得，，，解得，所以甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为。（2）记A的对立事件为，B的对立事件为，C的对立事件为，则=0.7,所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率0.7。后记：在周老师的精心帮助下，吴同学不但透彻理解了互斥事件、独立事件，能熟练地利用相应的公式解题，而且以后的学习如虎添翼，成绩越来越好。，周老师的教学功不可抹！—3—