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时间:2019-01-09
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1、排列组合中的易错问题 【摘要】排列组合问题通常涉及多种情况,需要进行分类讨论,解题过程中若分类或分步不正确,容易重复或者遗漏,从而导致出错;特殊元素特殊位置比较多时,考虑不全面也易导致计算不正确;本文结合例题,分析了排列组合问题的易错点. 【关键词】排列组合;特殊元素;重复;遗漏 例1三部车床加工四个不同的零件,不同的加工方法有种. 错解每一部车床都可加工四种零件,所以一共有43=64种加工方法. 错解分析混淆了“元素”与“位置”的主次关系,分步不正确,应视零件为“元素”,车床视为“位
2、置”. 正确解答第一个零件有3种加工方法,第二个零件有3种加工方法,第三个零件有3种加工方法,同样第四个零件也有3种加工方法,则一共有34=81种加工方法. 例25名同学站成一排,其中女生3名,男生2名,要求男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位相邻,则不同的站法共有种. A.60B.48C.42D.36 错解14(1)第一类女生在两端,先用捆绑法选两名女生排列,再与第三名女生排列,最后两位男生在中间排列:A23A22A22=24;(2)第二类男生乙在两端,再选中间两个位置给女生,剩下的
3、一个中间位置排甲,另一个位置排第三名女生,共C12C23A22=12种排法;两类情况相加得总排法数为36种,答案为D. 错解分析1特殊元素特殊位置多引起混乱,第二类中忽略了3个女生之间可排列的情况. 错解2为保证女生分开(1)第一类先将甲排在中间,乙也在中间,剩余三位女生排列:C23C12A33=36.(2)第二类将甲排在五个位置中的正中间,乙和三位女生排列在两边位置:A44=24;两类结合共有36+24=60种排法,答案为A. 错解分析2第二类A44=24包含了甲乙均在中间的情况,和第一
4、类有重复. 正确解答(1)第一步先排女生,将其中两名女生用捆绑法组合排列后视为一个元素,再与另外一名女生排列:C23A22A22=12;(2)第二步,将两名男生插入已排好的女生中,分两类情况,甲乙均在中间,甲在中间乙在两边,则一共有A22+C12=4种排法;综合两步,总共有12×4=48种排法,正确答案为B. 例3某交通岗位共有职工3人,从周一到周日7天中,每天安排一人值班,每人每周至少值班2天,则不同的值班排法有种. A.5040B.1260C.920D.630 错解第一人挑2天,第二
5、人挑2天,剩余3天由第三人值班,共有C27C25C33A33=1260种排班方法. 错解分析平均分组后再进行排列导致重复. 正确解答选一人值班3天,剩余2人各值班2天,一共有C13C37C24=630种值班排法.4 例4班级晚会上一共有六个节目,其中节目甲和乙不相邻,节目丙和乙相邻,则一共有种排法. 错解(1)第一步,先将节目甲和其余三个节目排列好,共有A44=24种排法;(2)第二步,再排节目乙,与甲不相邻,利用插空法有C13=3种排法;(3)第三步,节目丙要与甲相邻,只能在其前面或者
6、后面,排法为C12种;则一共有24×3×2=144种排法. 错解分析由于特殊位置较多,遗漏了节目丙在甲和乙之间的一类排法. 正确解答(1)把错解中的情况作为第一类,有144种排法;(2)第二类,先将节目甲和其余三个节目排列好,共有A44=24种,再将丙排在甲和乙之间,有C12=2种排法,共有24×2=28种排法;两类综合,总共的排法为144+48=192. 例5已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f是A到B的映射,若B中每个元素都有原像,则这样的映射有个. A.24B.3
7、6C.72D.81 错解(1)第一步从集合A中选两个元素对应集合B中的一个元素,一共有C24C13=18种排法;(2)第二步再从集合A中选择一个元素,从集合B中选择一个元素相对应,有C12C12=4种排法;两步综合排法为18×4=72种. 错解分析第二步中将集合A中剩余两个元素与B中剩余两个元素构成映射时两次组合导致重复. 正确解答第一步同错解,第二步两集合中剩余元素可构成的集合种类为A22=2种,所以一共能构成18×2=36个映射,正确答案为B.4 结束语 总之,学生在解答排列组合问
8、题时要做到分步有序,分类不重不漏,合理处理特殊元素,才能提高解题能力,降低出错几率. 【参考文献】 [1]季志焯.数学思维技术[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版,2013. [2]赵建勋.排列与组合中的遗漏和重复问题[J].中学生数学(上半月),2015(5):12. [3]戴再平.数学习题理论[M].上海:上海教育出版社,1991.4
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