[指导]圆锥曲线运算的几种数学思想

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1、专题：简化圆锥曲线运算的几种数学思想（-）极端思想通过考察圆锥曲线问题的极端元素，灵活地借助极限状态解题，则可以避开抽象及复杂运算，优化解题过程，降低解题难度。这是简化运算量的一条重要途径。e=_25［例1］求已知离心率V5,过点（1,0）且与直线仁2x-y+3=0相切于点（一亍亍）,长轴平行于y轴的椭圆方程。—、—°—~产（xH—）■H—（y—）=0解：把点（33）看作离心率V5的椭圆35*3（“点椭圆”）,则与直线几2兀-），+3=°相切于该点的椭圆系即为过直线/与“点椭圆”的公共点的椭215（x+-）2+—（y——）2+2（2兀一y+3）=0圆系方程为：35'32=--又由于所求的椭圆过

2、点（1,0）,代入上式得，3x2+^=l因此，所求椭圆方程为：5（二）补集思想有些圆锥曲益问题，从正面处理较难，常需分类讨论，运算量大，且讨论不全乂容易出错，如用补集思想考虑其对立面，可以达到化繁为简的目的。［例2］R为何值时，直线厶y-l=k（x-l）不能垂直平分抛物线的某弦。解：设/二伙I広/?},A={k直线2垂直平分抛物线的某弦}。若直线/垂直平分抛物线的弦AB,且a3，X）,B（X2』2）,则yf=,处=兀2上述两式相减得:（儿一力）（）'1+儿）=兀1一兀21二）〉-儿二1即k-x2y^y2二儿+儿二k又设M是弦AB的中点，且必（无0，儿），贝「°22伙+2）伙2-222）<0=

3、>-2<^<0Z+4Ja2k2+b2知两切线的方程为：y=kx±W^l又切线过点P(2,4),所以4=2k土E+2，整理得，/_偸+14=0所以心+心=16,krk2=14_J（P]+為）2-的他=屮划V162-4x14_2^21+14—

4、〒&=arctan所以两切线的夹角3(四)方程思想把圆锥曲线问题中的解析式看作一个方程，通过解方程的手段或对方程的研究，使问题得到解决，这种思想方法在解析几何试题中经常使用。［例4］已知双曲线C：(1-/用+。亍设该双曲线上支的顶点为a,冃上支与直线相交于P点，一条以A为焦点，M(0，加)为顶点，开口向下的抛物线丄＜k＜丄通过点P,设PM的斜率为且43,求实数Q的取值范围。解：由双曲线方程知A(0,1),则抛物线方程为=-4(m-l)(y-m),由双曲线与直线相交，解得点P的坐标为(一。卫)，又因为点P在抛物线上，所以a2=-4(m-l)(tz-m)①.m-ak=而MP的斜率为a,所以m=ak

5、+a将冲二aR+a彳弋入①，得a_=—4(aR+a—l)(—aR),即+4(a_l)&_a=0②rl丄］根据题意，方程②在区间4'3上有实根令/伙)=4族2+4(°_1"-g,其对称轴方程为&苍<心。124=>—<^<4所以/(-)＞07［—,4］〔3所以实数Q的取值范围为7」(三)函数思想对于圆锥曲盂问题上一些动点，在变化过程小会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其屮的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。［例5］直线m：y=kx+i和双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，直线Z^p(-2,0)和AB线段的中点M,求/在轴上的截距b的取值范亂y

6、=kx+1解：由L-y2=i(Mi)消去y得伙2_1)〒+2也+2=0,由题意，有:△=4/+8(l-/)>02kn+尤2=7<0〜1-k2_2兀宀=>0―i-k22设M(兀o』o))'()=%+1=1-k2k1f2b=由P(-2,0)、M(1-Hl—/)、Q(0")三点共线，可求得—2R++2设于伙)Sk+2二一2伙-才)+y，则/⑹在(］,72)上为减函数。所以/(V2)2(三)参数思想处理圆锥曲线问题，可以通过引入参变量替换，使许多相关或不相关的量统一在参变量下，其妙处在于减少未知量的个数或转化

7、原命题的结构，以达到简化解题过程的目的。(x—a)2［例6］当d为何实数时，椭圆2+)"与曲线C：V=—X-2冇公共点?(平)2+),2=1解：椭圆方程变形为：V2x-asin2&二—(6?+V2cos0)设V2=cosgy=sin&,即兀=a+"cos&』=sin&代入曲线C得:即a=2sin2&一V^cos&(1)椭圆与曲线C有交点，等价于方程（1）有解，即等价于函数y=2sin20-^2co