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1、初中相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一•个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，H相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。（2）相似三角形的周长比等于相似比。（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似
2、比。二、典型例题例1：如图，已知直线AB：y=4/3x+b交x轴于点A（-3,0）,交y轴于点B,过点B作BC丄AB交x轴于点C.(1)试证明：△ABCs/A0B；(2)求AABC的周长.分析：(1)根据三角形的判定与性质得；I1ZABC=ZAOB,ZA=ZA,AB二BA,即可证111AABC^AAOB；(2)根据直线AB：y二4/3x+b交x轴于点A(-3,0),得出B点的坐标,即可求出AB的值,再根据△ABC^AAOB,得出BC的值，再根据直角三角形的性质得出AC的值，然而求dHAABC的周长.解答：(1)TBC丄ABAZABC=ZAOBV
3、ZA=ZAAAABC^AAOB(2)I直线AB：y二4/3x+b交x轴于点A(-3,0),/.b=4・・・B(0,4)・・・0B二4VA(-3,0)・・・0A=3・・・AB二5VAABC^AAOBAAB:BC=A0:BO・・・5:BC=3：4・・・BC二20/3・・・AC二25/3AAABC的周长二AB+BC+AO5+20/3+25/3=20例2：如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A(-1,0)和点(1,4)交y轴于点B.(1)求一次隊
4、数解析式和B点处标.(2)过B点的另一直线1与直线AB垂直，口交X轴正半轴于点P,求点P的坐标.(3)点M
5、(0,a)为y轴正半轴上的动点，点N(b,0)为X轴正半轴上的动点，当宜线MN丄直线AB时,分析：求a：b的值.(1)把(T，0),(1,4)代入一次函数的解析式得到方程组求出方程组的解即可；(2)ffiAAOB^ABOP,求出0P即可;(3)证厶OMN-AOBP,得到比例式,代入求出即可.解答：(1)把(-1,0),(1,4)代入y二kx+b得0二-k+b4二k+b解得：k=2,b=2y二2x+2在y二2x+2中，令x=0,得y=2AB(0,2)答：一次函数解析式是y二2x+2,B点坐标是(0,2)(2)VZABP=90°,ZA0B=90°.-
6、.ZBA0+ZAB0=90°,ZABO+ZPBO二90°・・・ZBA0二ZPBO,ZA0B=ZP0B=90oAAAOB^ABOP・・・OB2=OA・OP・・・OP二4・・・P(4,0)答：点P的坐标是(4,0)(3)・.・MN〃BP.•.AOMN^AOBPOMONabb42答：a：b的值是1：2例3：(2000•陕西)如图，在矩形ABCD中，EF是BD的垂直平分线，已知BD=20,EF=15,求矩形ABCD的周长.分析：设长AB二x,宽BC=y,根据题意可证RtADAB-RtAEOB,于是冇一个比值，根据这个方程组可以求出AB,BC的长x,y即可
7、求矩形周长.解答：设长AB二x,宽BC=y,VZDAB=90°二ZE0B二90°,ZB二ZB/.RtADAB^RtAEOBAAB:OB=BD:BETAD二BC,DF二BE・・・{x求证：EF/7BC；若AABD的面积是6,求四边形BDFE的面积.分析：(1)在等腰AACD中，CF是顶角ZACD的平分线，根据等腰三角形三线合一•的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是AABD的中位线，即可得到EF〃BC的结论；(2)易证得△AEF-AABD,根据两个相似三角形的面积比(即相似比的平方)，可求出AABD的面积，而四边形BDFE的面积为AABD和A
8、AEF的面积差，山此得解.解答：(1)证明：ZACD中,DC二AC,CF平分ZACD；・・・AF二FD,即F是AD的中点;又TE是AB的中点,・・・EF是AABD的中位线：・・・EF〃BC；(2)解：由(1)易证得：AAEF^AABD+y2=202rx24{—==—1532解得xf16,y】=12；X2=T6,y2=~12(舍去)・・・矩形周长为56例4：(2010•攀枝花)如图所示，在AABC中，BOAC,点D在BC±,且DC=AC,ZACB的平分线CF交AD于点F.点E是AB的中点，连接EF./•Saaef:Saabd=(AE:AB)2=1
9、:4/•SAABD=4SAAEF=6Saaef=1.5S四边形BDFE=Saabd-Saaei^B-1.5=4.5三.解题经验熟练掌握和
