概率论与数理统计》课后习题答案第四章

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1、习题4・11.设10个零件中有3个不合格.现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X的数学期望.解可得X的概率分布为_0123X〜7771_1030120120于是X的数学期望为7771E(X)=0x——+lx——+2x——+3x——1030120120_45_3_120_82…某人有〃把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开.求此人直至将门打开所需的试开次数X的数学期望.解可得X的概率分布为12••-nX〜111n于是X的数学期望为E(X)=lx丄+2x丄+・・・+〃x—nnn1〃(川+1)/?+1~

2、~n—2—一〒3.设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9,若记失败次数为X,求X的数学期望。解由题意X〜B(5,0」)，则X的数学期望为E(X)=5x0.1=0.54.设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布.据统计，在一年屮因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的丄，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。2解设该地每年因交通事故死亡的人数为X,由题意X服从泊松分布P(2)仇＞0).因P{X=l}=-^-P{X=2]=>2=4F1A2—c—1!22!于是X的数学期望为E(X)=A=4所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。5.设随机变量X在区间(1,7)上服从均匀分布，求

3、P{X2

4、6.设连续型随机变量X的概率密度为PM=axh0<%°)又知E(X)=0・75,求话的值解由密度函数的性质可得Jp{x)dx=1axhdx=1o=>旦=1b+1又由E(X)=0.75,可得Jxp{x)dx=J。x•axbdx-0.750.75求解a上+2可得a=3,b=2.6.设随机变量X的概率密度为x0

5、)dxX3jz2兀"、2!=訓+(宀訓“8.设随机变量X的概率分布为X-2-101P0.20.30.10.4求(1)E(2X-1)；(2)E(X2).解⑴E(2X—1)=2E(X)—1其中E(X)=-2x0.2-1x03+0+1x0.4=-0.3则E(2X-1)=2£(X)-1=2x(-0.3)-1=-1.6(2)E(X2)=0.2x(—2)2+0.3x(—I)：+0.1x02+0.4xl2=1.59.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作。若周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三

6、次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少?解设X为一周内机器发生故障的次数，由题意，X~B(5,0.2)；又设Y为一周的利润(单位：万元)，则10,x=o5,X=1Y=,X=2-2,X>2于是--周的期望利润为E(y)=i0xP{y=i0}+5xP{y=5}+0xP{r=0}+(-2)P{r=-2}=10xP{X=0}+5xP{X=l}+0+(-2)P{X>2}二1Ox(0.8)5+5xC；0.2x(08)4+0+(_2)(]-P{X<2})=5.21(万元)10.计算第1,2,3各题中随机变量白勺方差。解(1)因X的分布律为0123_X7771_1030120120_

7、故38E(X)二E(X2)=0x—+1X-7+4x・7+9x1_13103012012024于是°°13977D(X)=E(X2)—(E(X))2=———=一2464192(2)因X的概率分布为12…nX〜111nnnMi,7+1可得X的数学期望为E(X)=〒,又["]]1E(X2)=-Yi2=——n(n+l)(2n+l)=-(n+1)(2〃+1)n66于是D(X)=E(Xr-(E(X)y1/—,、5+1)2«2-1=—仇+1)⑵2+1)—=6412(3)市题意X〜B(5,0」)，则X的方差为D(X)=5x0.1x0.9=0.4511•设随机变虽X的概率密度为-l

8、其它求X的方差D(X).E(X)=jxp{x)dxx-(-x)dxX1疋、

9、小r0r1=j]X・(1+X)6k+J()232=(—+—)Vc—-—)o=o231230£(X2)=Jxp{x}dx■()3,4=fx2•(1+兀)么+fx1^(-x)dxJ—1JO_(十+兀4)

10、()+用X4._1故?911Z)(X)=E(X2)-(E(X))2=——0=-6612.设某公共汽车站在5分钟内的等车人数X服从泊松分布，且由统计数据知，5分钟内的平均等车人数为6人求P{X>