第97题数学归纳法-2018原创精品之高中数学（理）黄金100题系列

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1、第97题数学归纳法I.题源探究・黄金母题【例1】在应用数学归纳法证明凸"边形的对角线为*〃(斤-3)条时，第一步检验兀等于()A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】考虑四角形，它有两条对角线，故选D.【例2】用数学归纳法证明：首项是q,公差是〃的等差数列的前斤项和公式口cn(n-\d是S”=叫+—-—时，假设当n=k时，公式成立，则S&精彩解读【试题来源】例1：人教A版选修2-2P96B组T］改编;例2：人教A版选修A.d]+(£—l)dC.12D.(中叶紅沁【答案】Ck(k-\cl【解析】把n=k代入

2、欲证式易得Q二何+——，故选C.屛+rr【例3】用数学归纳法证明1+2+3+-+宀则当时，左端应在n=k的基础上加上A.k~+lB.仏+1)C.伙+1)"+仇+1)2D.代+1)+代+2)+...+伙+1)【答案】D【解析】当n=k^-时，等式为1+2+3+...+疋+(疋+1)+(/+2)+.・.+伙+1)2=("+】)+/+1),因此左2端应在n=k的基础上加上(疋+1)+(疋+2)+.・・+伙+1『，故选d.11・考场精彩・真题回放2JP95T1改编；例3：人教A版选修2・2P

3、这类题主要考查利用数学归纳法证明等式或不等式，考查考生的分析问题、解决问题以及推理论证能力.【思路方法】(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项,初始值％是多少；(2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.【命题意图】•这类题主要考查利用数学归纳法证明等式或不等式，考查考生的分析问题、解决问题以及推理论证能力.【考试方

4、向】这类试题在考査题型上，若以选择题或填空题的形式出现，为容易题；若以解答题的形式出现，这难度较大.【难点中心】1.数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，X,2)【例】已知数列｛兀”｝满足：x｛=1=xH+1+ln（14-xM+1）（/?6N：t）.证明：当nwN*时，（I）°v兀+iv兀；（II）2甘兀/今；（III）【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）见解析.【解析】（I）证明：令函数/（x）=x+ln（14-x），则易得/（x）在［0,+oo）上为增函数.又

5、xn=f（xn+［）,若,则几j）>/（o）=o，£>0恒成立=£+】>0,乂由兀=兀卄]+ln(l+£+])可知%„>0,由益一£+】=和】+ln(l+£+J一£+】=吨+益+J>0,・・・兀“>xM+I所以07+]分・(II)由心二£+1+ln(l+£+i)>£+i得一4耳+

6、+2心=兀；+1—2兀+】+(£+]+2)ln(l+兀卄J记函数/(x)=x2-2x+(x+2)ln(l+x)(x>0)函数f(x)在[0,+oo)上单调递增,所以/(x)>/(0)=0,因此总1-2暂+]+(£+】+2)ln(l+£

7、+J=/(xrt+1)>0,r/EG21,1（III）叽一从丁「一石气n“+2即鼎—n洛一一召=>递推得2£+1/Xn/1(]__)第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误.有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.2.归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：（1）归纳假设就是已知条件；（2）在推证n=k+1时，必须用上归纳假设.3.利用归纳假设的技巧在推证n=k+1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时

8、既要看准目标，又要掌握n=k.与n=k+l之间的关系.在推证时，分析法、1J亍1=1八0=1

9、12%_2西右2“22!_j_42刊综合法、反证法等方法都可以应用.由西=1知£<—^(/?GN*),又由h(x)=x-ln(l+x)>0可知2xrt+1-xn=h(xn+l)>h(x)=0.即2兀出>百=陥

10、>*兀=心»占暫=2^(nE"*)•综上可矢U,^m-i~-2n~2'本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解•决问题的能力，属于难题•.本题主要应用

11、：(1)数学归纳法证明不等式；(2)构造函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(l+x)(x>0),利用函数的单调性证明不等式；(3)由递推关系证明.III.理论基础•解题原理1.定义：证明一个与正整数斤有关的命题，可按下列步骤进行(1)(归纳奠基)证明当n取第一个禺仏w")时命题成立；.(2)(归纳递推)假设n=k(k>n^,keTV*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只