103基本不等式1教案设计-

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1、10.3.1基本不等式(1))一、教学目标1＞知识与技能：①了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件；②能够初步运用基木不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。2、过程与方法：本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。定理的证明要严密，要帮助学牛分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。3、情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学牛的学习兴

2、趣。同时通过基木不等式的几何解释，提高学牛数形结合的能力。二、教学重点与难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明过程,并能说明基本不等式的意义难点：利用基木不等式推导一些与其相似的不等式三、教学过程引例某公司设计了如图10・7所示的-•块绿化景观地带，这块绿化景观地带的内圈周长为400m,两条平行直线的两端用半圆形弧相连接,两条平行线段的长为100mo这样的设计有什么好处呢？你能举出这样设计的一个理由吗？两个重要定理定理1：对丁•任意实数a,b,有a2+b2>2abf（当且仅当a=b时等号成立）.证明：•・•a2+b2-2ab=（a-b）2>0

3、・・・a2+b2>2ab.等号成立当且仅当Ca-b）2=O^a=b.⑵定理2：如果a,b是正实数，那么凹>4ab（当且仅当a=b时等号成立）2证法一：・.•61十&一航^=—（^4-/?-2>/^）=—（>/a+V^）2>0222...a-^hn乔等号成立当且仅当奶二丽，即a=b2证法二：由定理1彳斗丽）+（丽）2y[aba-^-b>2y[ab>y[ab小结：定理1和定理2中的不等式通常称为基本不等式或均值不等式想一想]1.两个基木不等式之间有何关系？提示：不等式b为正数）是不等式cr+b2^2ab的特殊情形，因此两者在结构上相似，并且都是在a=b时，等号成立；但二者成立的

4、条件是不同的a2+b2^2ab中a,bWR,但耳亦中，要求a,b都是正数.[想一想]2.基本不等式中的a,b可以是代数式吗？提示：可以，但代数式的值必须是正数，否则不成立.（M例1已知a和b为实数，求证：ab2>^lXL_,当且仅当a二b时等号成立。2°2证法一：…亍

5、护（Q+b）_2a+2戸一（°+耐22a2+b，-lab_(6/-Z?)2、门2・・"+心业£222根据定理1,2^

6、证不等式；证法二是利用不等式作为基础，再采用不等式的性质推导所要求证的结论，这种证题方法通常叫作综合法。四、课堂练习：1.(1)设0

7、j/ER,xy<0,所以汁-解析：(1)法a+bahi—…2空b+a..b>?•法二取67=2,b=8,则y[ah=4f乞号=5,j—a+bab<2),所以#,

8、e(0,+<-),符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②虽然兀，〉€(0,+®),但当xe(O,l)时，lgx是负数，yW(O,l)时，lgy是负数，所以②的推导过程是错误的；③因为67ER,不符合基本不等式的条件，所以牛+心2冷荊=4是错误的；④由小V0得三，三均为负数，但在推导过程中将三+三整体提出负号后，一三,yxyx

9、y一上均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.X答案:⑴B(2)D1.若°,/?eR,Xab>Q,则下列不等式中，恒成立的是()A.+b2>2abB.ci+b^2y[ab利用基本不等式证明不等式(1)设a,b,c都是正数,⑴设a,b,c都是正数,求证：牛+管+乎上d+b+c.(2)设a,b,cER,求证：a2--b2--c2^ab~rbc--ac.证明：(DU,b,c都是正数,・••乎+年N2c,当且仅当a=b时等号成立,万+丁$20,当且仅当b=c时等号成立,—+—当且仅当a=c时等号成立.(“22(