基本不等式教案设计习题.doc

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.以选择题或填空题的形式考查基本不等式的应用，如比较大小、求最值等，如2012年T5，T8等．2.在实际问题中和函数建模综合起来，考查基本不等式在求函数最值中的应用，如2012年T17等.[归纳·知识整合]1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．[探究]　1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：①当a＝b时，≥取等号，即a＝b⇒＝②仅当a＝b时，≥取等号，即＝⇒a＝b.2．几

2、个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R)3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值P，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是2(简记：和定积最大)．[探究]　2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？提示：

3、当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，y＝x＋在x≥2时的最小值，利用单调性，易知x＝2时ymin＝.[自测·牛刀小试]1．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为(　　)A．18　　　　　　　　　　B．36C．81D．243解析：选A　因为m>0，n>0，所以m＋n≥2＝2＝18.2．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)A．1＋　　　B．1＋　　　C．3　　　D．4解析：选C　f(x)＝x＋＝x－2＋＋2，∵x>2　∴x－2>0∴f(x)≥2＋2＝4当且仅当x－2＝，即x＝3时，“＝”成立，又f(x

4、)在x＝a处取最小值，所以a＝3.3．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0则的(　　)A．最小值为8B．最大值为8C．最小值为D．最大值为解析：选D　＝＝＝≤.当且仅＝，即x＝2z时取等号．4．函数y＝x＋的值域为________．解析：当x>0时，x＋≥2＝2；当x<0时，－x>0，－x＋≥2＝2，所以x＋≤－2.综上，所求函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)5．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．解析：由题意知：P，Q

5、两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，则m>0，n>0，n＝，所以

6、PQ

7、2＝4

8、OP

9、2＝4(m2＋n2)＝4≥16(当且仅当m2＝，即m＝时，取等号)．故线段PQ长的最小值为4.答案：4利用基本不等式证明不等式[例1]　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：≥9.[自主解答]　法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋＝1＋＝2＋.同理，1＋＝2＋.∴＝＝5＋2≥5＋4＝9，当且仅当＝，即a＝b时取“＝”．∴≥9，当且仅当a＝b＝时等号成立．法二：＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，∵a，b为正数，a＋b＝1，∴ab≤2＝，当且仅当a＝b＝时取

10、“＝”．于是≥4，≥8，当且仅当a＝b＝时取“＝”．∴≥1＋8＝9，当且仅当a＝b＝时等号成立．保持例题条件不变，证明：＋≤2.证明：∵a>0，b>0，且a＋b＝1，　　　　∴＋＝＋≤＋＝＝＝2.当且仅当a＋＝1，b＋＝1，即a＝b＝时“＝”成立．———————————————————利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．1．已知a>0，b>0，c>0，

11、求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：∵a>0，b>0，c>0，∴＋≥2＝2c，＋≥2＝2b，＋≥2＝2a.以上三式相加得：2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.利用基本不等式求最值[例2]　(1)(2012·高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)A.　　　　　　　　　　B.C．5D．6(2)已知a>0，b>0，a2＋＝1，则a的最大值为________．[自主解答]　(1)由x＋3y＝5xy，得＋＝5(x>0，y>0)，则3x＋4y＝(3x＋4y)＝≥＝(13＋12)＝5.当且仅当＝，即x＝2y时，“＝”成立，此时由解得(2)

12、∵a>0，∴a＝＝≤·＝，当且仅当即时取等号．∴a的最大值为.[答