《高考风向标》(理科)数学第八章平面向量

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1、第八章平面向量向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积平面向量的基本定理及坐标表示向量的坐标运算物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件向量的夹角向量的模两点间的距离知识网络第1讲向量的概念与线性运算★知识梳理★1．平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示.特别提醒：1)模：向量的长度叫向量的模，记作

2、

3、a

4、或

5、

6、.2)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.3)单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.4)共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.5)相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2．向量的线性运算1.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图，已知向量a，b，在平面内任取一点，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b43/43特殊情况：对于零向量与任一向量a，有aaa（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______（3）运算律：_

7、___a+b=b+a；_______，____（a+b）+c=a+（b+c）._______2.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.已知向量a、b，求作向量∵(a-b)+b=a+(-b)+b=a+0=a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作=a,=b,则=a-b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量注意：1)表示a-b强调：差向量“箭头”指向被减数2)用“相反向量”定义法作差向量，a-b=a+(-b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a-bAABBB’Oa-baabbOAOBa-ba-bBAO-ba∥b∥ca-b=a+(-b)a-

8、b（2）法则：____三角形法则_______3.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：

9、λa

10、=

11、λ

12、

13、a

14、.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行.（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.43/43特别提醒：1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。2)重要定理：向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.★重难点突破★1.重点：理解向量及与向量相关的概念，

15、掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则．2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算．3.重难点：.问题1:相等向量与平行向量的区别答案：向量平行是向量相等的必要条件。问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。问题3：对于两个向量平行的充要条件：a∥ba=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.问题4；向量与有向线段的区别：（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，

16、则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段★热点考点题型探析★考点一：向量及与向量相关的基本概念题型1.概念判析[例1]判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向(2)若(3)单位向量都相等(4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若，，则；(7)若，，则(8)若四边形ABCD是平行四边形,则(9)的充要条件是且；[解题思路]：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。43/43解析：解：(1)不正确，零向量方向任意,(2)不正确，说明模相等,还有方向(3)不

17、正确，单位向量的模为1,方向很多(4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式(5)正确，（6）正确，向量相等有传递性（7）不正确，因若，则不共线的向量也有，。(8)不正确,如图（9）不正确，当，且方向相反时，即使，也不能得到；【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。【新题导练】1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形