资源描述：
《中山大学概率统计第习题解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题三先介绍两个常用的恒等式.对于,,.证明如下:,,.1.求习题2.4中的随机变量的期望.解有概率分布,..2.求习题2.9中的随机变量的期望和方差.解,,.3.某种彩票中奖的概率是0.1,连续地购买这种彩票,设直到第张彩票才获奖.求的期望与方差.解有分布19/19,.,.所以.4.某小组有男生4人,女生3人,从中随机选出2人.设为选到的女生的人数,求的期望和方差.解有分布,,.,,.5.同时投掷4个骰子一次.约定没有掷出6点得1分,掷出1个6点得5分,掷出2个6点得25分,掷出3个6点得125分,4个6点得625分.问期望能得多少分?解有分布,,,,..6.某人携带5发子弹射击
2、一目标,一旦射中或子弹打光了便停止射击.设这个人每次射击命中目标的概率是,问他平均会射击几次?解1设,有分布,,.19/19.解2设,有分布,,.因为对于,.所以.7.设随机变量的概率密度为.求和.解,,.8.设随机变量的概率密度为,求和.解1,,,故.,故19/19.解2由于,,故.又由于是奇函数,故.,故.9.在赌场上,赌博的人每次交纳个一个筹码便可以同时投掷3个骰子一次,并获取一笔奖金,奖金的数目(元)等于3个骰子掷出的的点数的乘积.如果每个筹码的价钱是45元,那么赌场老板平均每次可以获利多少?解分别以,和记3个骰子掷出的的点数,则.以这些点数的乘积,即,赌场老板平均每次的获
3、利是.10.对某一目标进行射击,直到击中次为止.如果每次射击的命中率为,求需要射击次数的期望与方差.解1分别以记第1次击中需要射击次数,第1次击中后开始到第2次击中需要射击次数,,第次击中后开始到第次击中需要射击次数.对,有分布,,其中.因而,,.以记需要射击的次数,则,19/19,.解2以记需要射击的次数,则有分布,..,上式中,,因而,.解3以记需要射击的次数,则有分布,.根据命题2.2.1,.分别以和代替上式的,则分别有..下面利用上面的两个等式来求的期望和方差..,19/19上式中,由此得,因而.11.设服从分布,即它的密度为,其中.求和.(提示:称为函数,由微积分的知识知
4、)解(见p.239,命题2.1)12.分别以下的几种情况,求的均值.请用两种方法分别计算,即利用1.10式直接计算,以及先求的密度,再利用1.4式计算.1)有联合密度.2)有联合密度.3)有联合密度,其中.解1)方法1,,.19/19方法2.2)方法1,,.方法2.3)方法1,,.方法2.19/1913.设,求.解.由于是奇函数,,故.当时,.由此得.14.设球的直径服从上的均匀分布,求球体积的期望.解设球的直径为,球的体积为.则,有密度,而.15.点随机地落在中心在原点、半径为的圆周上,并对弧长是均匀分布的.求落点横坐标的期望和方差.解从点沿反时针方向到落点的弧长为,落点横坐标为
5、,则,有密度.因而,..19/1916.设,,其中,.求的密度,期望和方差.解.当时,,.当,时,,.当,时,,.由上知有密度.17.设轮船横向摇摆的振幅是随机变量,有密度.求和的期望和方差,并求振幅大于其期望的概率.解.故....18.设等腰直角三角形的直角边长为随机变量,服从上的均匀分布.求这个三角形的面积的期望.解有密度,这个三角形的面积..19.设园的面积服从指数分布,有密度.求这个园的半径的期望.解设园的面积为,则这个园的半径.19/19.20.设独立,分别有密度和,又设.求的期望和方差.解,,,.,,.21.设某人在3天中共收到5份电子邮件,每份电子邮件在这3天中的那一
6、天被收到都是等可能的.设这3天中有天当天都至少收到一份电子邮件,求的期望.(提示:设,则).解对于,设,则,,,故.因而.22.设有联合密度,其中是常数.求出的值,并问与是否存在?解19/19,故.,类似地,.,故不存在,类似地亦不存在.23.设服从区域上的均匀分布,求相关系数.解有密度.,,..类似可得.,.24.设为随机向量,都是实数.证明:,.25.已知,,.求,和.,19/19,.26.设随机变量有均值4和方差25.为了使得有均值0和方差1,应该怎样选择,的值.解由题意得,,解方程组得,.27.设随机变量独立同分布,有有限的不等于零的方差.又设,,求的相关系数.解设,则,,
7、..28.设是二维正态随机向量,和都有均值0和方差1,两者的相关系数为1/2.为了使得和相互独立,应该怎样选择常数的值.解设,则服从正态分布,,相互独立的充分必要条件是.由于.故应选择.19/1929.分别求习题2.26中的随机变量和的期望和方差,并求它们的协方差和相关系数.解,,,,,,,,.30.设服从二维正态分布,,,,.求落在区域中的概率.解有密度,.31.设随机变量和独立.证明.32.设随机变量相互独立有相同的分布,且有有限的不等于零的方差.记.1)证明对,
