典型概率题及其解法

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时间:2019-02-16

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1、典型概率题例1同时掷四枚均匀硬币,求:(1)恰有两枚“正面向上”的概率;(2)至少有两枚“正面向上”的概率.分析:同时任意投掷四枚均匀硬币,每个硬币的结果都有两种可能性,四枚硬币的情况决定了一次试验的结果,每种结果的出现是等可能的,本$月于等可能事件的概率问题.四枚硬币发生的结果总数我们可以分步确定,恰有两枚正面向上,可以先确定哪两枚正面向上,则另两枚反面向上,至少有两枚正面向上可分类为两枚正面向上、三校正面向上、全部正面向上.解:同时投掷四枚硬币,正面、反面向上的不同结果总数为:(种)(1)恰有两枚正面向上的结果总数为,所以恰有两枚正面向上

2、的概率为.(2)至少有两枚正面向上的结果总数为:种所以至少两枚正面向上的概率为.说明:使用等可能事件概率公式时,首先要判定事件是不是等可能事件,本题实际上可推广到投掷几枚硬币,恰好有m枚正面向上的概率以及至少有m枚正面向上的概率,设两个事件分别为A、B,可以求到:.例3有6个房间安排4个旅游者住宿,每人可以随意进哪一间,而且一个房间也可以住几个人.试求下列事件的概率.(1)事件A:指定的4个房间中各有1人;(2)事件B:恰有4个房间中各有1人;(3)事件C:指定的某个房间中有两人;(4)事件D:第1号房间有1人,第2号房间有3人.分析:由于每

3、个人进哪一个房间是随意的,所以4个人住房的各种结果是等可能的,本题是等可能事件的概率问题.所有可能的不同住房结果总数可以用分步计数原理求得,每人住房的结果都有6种可能,最后4个人住房的不同结果总数为.事件A中指定的4个房间中各有1人相当于4个人排到4个房间中去,有种不同结果;事件B中恰有4个房间,每间1人与事件A的区别在于哪4间房不空;事件C中指定的某房间2人,我们可以先从4人中选2人进入此房间,其它2人分步任意住进其它5个房间;事件D可以先安排1号房间1人,再安排2号房间3人解:4个人住进6个房间,所有可能的住房结果总数为:(种)(1)指定

4、的4个房间每间1人共有种不同住法.∴.(2)恰有4个房间每间1人共有种不同住法.∴.(3)指定的某个房间两个人的不同的住法总数为:18/18(种),∴.(4)第一号房间1人,第二号房间3人的不同住法总数为:(种),∴.说明:“分房问题”抽象化以后可以与许多问题发生联系,比如,前面例题的小球投入盒子、安排几个人做某几项工作,几列火车停在哪个站道,若干个同学各自在哪一天生日等等.我们可以看例子:某班有50名同学,一年按365天计算,至少有两名同学在同一天生日的概率是多少?50名同学相当于上述例题中的旅游者,每一天相当于“房间”,50名同学所有生日

5、的不同结果总数为:,至少有两名同学在同一天生日的结果总数可用间接法计算,总数为,则至少有两人在同一天生日的概率为,利用工具计算后将会发现,这是一个很接近1的结果,即50个人的一个班级中,有两个人在同一天生日的概率很大,高达0.97,几乎是令人惊讶的结果.例4某人有5把钥匙,其中有一把是打开房门的钥匙,但他忘记了哪一把是打开房门的钥匙,于是他逐把不重复地试开,问:(1)恰好第三次打开房门锁的概率是多少?(2)三次内打开房门锁的概率是多少?分析:某人五次顺次拿出钥匙的结果相当于5把钥匙的一个排列,由于他每次拿哪一把是任意的,所以不同的拿钥匙的结果

6、的可能性相同,本题是等可能事件的概率问题.恰好第三次打开房门锁相当于第三次拿出的钥匙正好是房门钥匙,或者说在5把钥匙的一个排列中第3把钥匙正好是开房门钥匙,三次内打开房门相当于5把钥匙的排列中,开房门钥匙出现在前3个.解:本题是等可能事件的概率问题,某人5次拿钥匙的所有不同的结果是.(1)恰好第3次拿出开房门钥匙的结果总数为:.所以恰好第3次打开房门的概率为:(2)前3次内拿出开房门钥匙的结果总数为:3.所以前3次打开房门的概率为:说明:如果5把钥匙中有2把可以开房门的钥匙,则在前3次内打开房门的概率是多少?三次内找开房门说明在前三次中至少有

7、1次取出开房门钥匙,我们可以通过分类讨论,恰有一把开房门钥匙在前3次拿出的结果总数为:,恰有两把开房门钥匙在前3次拿出的结果总数为,这样我们得到前三次内打开房门的结果总数为,从而前3次内打开房门的概率为:.18/18例5抽签口语测试,共有a+b张不同的考签,每个考生抽1张考签,抽过的考签不再放回,某考生只会考其中的a张,他是第k个抽签的,求该考生抽到会考考签的概率.分析:因为每个人抽哪一张考签是随意的,所有人抽签后抽出的结果相当于这些考签的一个全排列,而且各种不同的排列结果出现的可能性相同,本题是求等可能事件的概率问题.由于某考生是第是次抽签

8、,他能抽到会考考签相当于全排列中第k个元素,是某人会考的a个考签中的一个,我们可以用排列组合知识求出这种排列的所有不同种数,然后用等可能事件的概率公式求解.解:本题

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