数学竟赛培训资料(理工)

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1、数学竟赛培训资料(理工)第一讲函数与极限（一）内容要点及重要方法提示1.不等式与有限和公式:1.对n个正数式中的三项依次称为这些正数的调和平均数、几何平均数与算术平均数.2.对n个实数3.对2n个实数4.若0≠a>-1,且整数n>1,则有5.若实数均大于-1且同号,则6.对任意实数x有且等号成立当且仅当x=0;若7.8.9.10.11.12.13.14.2.函数,复合函数与变量替换.例1.1.设函数f(x)=，f[j(x)]=1-x，且j(x)³0，求j(x).(1990北京理工大学竞赛)解.因3.简单函数方程的求解.一般通过变量替换,从方程得到

2、关于f(x)、f[g(x)]等的方程组,然后解出f(x).例1.2.求满足方程f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy的函数f(x),其中f(0)=a与f(p/2)=b为已知常数.解.以(x,y)=(0,u),(u+p/2,p/2),(p/2,u+p/2)代入原方程,可得含f(u)、f(-u)、f(u+p)的方程组,然后解出f(u)=acosu+bsinu,即有f(x)=acosx+bsinx.4.数列与函数极限的存在准则:(1)夹挤准则.(2)单调有界收敛准则.(3)柯西收敛准则.例1.3.设存在，并求其值.分析.给定数列的奇数项子列单调

3、增加有上界，偶数项子列单调减少有下界，因此两子列均收敛.对于这种数列仍可应用单调有界准则.解.首先易见命题1.1.若命题1.2.设例1.4.设解.5.幂指函数的极限.命题1.3.在某变化过程中,函数f(x)为无穷小量,g(x)为无穷大量,limf(x)g(x)=b,则命题1.4.在某变化过程中,f(x)与g(x),F(x)与G(x)均为等价无穷小(大),且f(x)>0,g(x)>0,例1.5.计算极限解.令故原式=1.6.用洛必达法则与泰勒展开式计算极限.应用洛必达法则之前应注意:(1)先判断极限是否型;(2)通过分解、变量的等价替换、析出可成为

4、常数的变量等整理和化简,以便于计算导数;(3)可重复上述步骤.应用泰勒展开式时需注意分子与分母展开的阶数为各自主部的阶数.例1.6.设函数f(x)有连续的二阶导数,且解.因例1.7.若()(A)0.(B)6.(C)36.(D)∞.解.用sin6x的泰勒展开式,知应选:C.注.由于f(x)无可微条件,此题不能用洛必达法则.7.无穷小、无穷大量阶的比较.(1)当正整数n®¥时,以下各无穷大数列的阶由低到高排列为:(2)当实数x®+¥时，以下各无穷大量的阶由低到高排列为:(3)当x®0时，下列各无穷小量～x:sinx,arcsinx,tanx,arct

5、anx,(4)设ar¹0，k为正整数，则x®0时:～～arx,～(5)当x®¥时:～8.等价无穷小(大)量在极限计算过程中的替换：命题1.5.设函数f(x)可导，x®0时f(x)～～.命题1.6.设在某个变化过程中,无穷小(大)量函数f(x)～a～b,a≠0≠b,r>0,s>0:(1)若s

6、不等于1的数或∞,则对任何变量u(x),有lim[u(x)(f(x)–F(x))]=lim[u(x)(g(x)–G(x))].例1.8.当x®0+时,与等价的无穷小量是(A)1(B)(C)(D)(2007研招一)解.ln(1+x)～x,～,应选:B.例1.9.计算极限(2001天津竞赛理工)解.例1.10.设f(x)=则当x®0时，()(A)f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小.(B)f(x)与g(x)为等价无穷小.(C)f(x)是比g(x)更高阶的无穷小.(D)f(x)是比g(x)更低阶的无穷小.解.因x®0时知应选:A.9.运用导数与定积分

7、定义计算极限.例1.11.设函数f(x)在点a可导,解.原式=,令于是原式=→0(n→∞),原式=f’(a)..例1.12.求=.解.原式=10.由包含参数的变量极限求参数的问题.例1.13.设函数,当x®0时的极限存在,求a的值.解.11.曲线的渐近线.例1.14.曲线渐近线的条数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.(2007研招一)解.曲线有渐近线x=0,y=0,y=x.应选:D.12.多元函数的(多重)极限.一般通过一元函数的极限来研究二(多)元函数的极限,有时也可利用极坐标来研究二元函数的极限;通过两条不同路径考察函数的变化情况来验

8、证二元函数的极限不存在.例1.15.求极限:解.显然因此原式=0.（二）习题1.1.填空题:(1)设函数f(x)=，则函数f(x¤2)+