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1、数学竟赛培训资料(理工)第六讲曲线积分（一）内容要点及重要方法提示2221.第一型(对弧长)曲线积分.弧微分dsdxdydzdl.注意无方向问题,一般计算程序:画出积分路径的图形;将路径用参数式表示;表dl为参变量的微分式后化成定积分计算.(1)化成参变量的定积分计算.22xycz例6.1.设c>0为常数,L:.求L上从原点到点A(x0,y0,z0)的弧长.zyxtanczz2zc解.L的参数方程是:xczcos,yczsin,zz,弧微分dsdz,因此所求弧长cc4czz02z0sdscz（013c）.02222例6.2.计算均匀密度的球面xyza(a0)在第一卦限部分的边界
2、曲线的重心坐标.解.边界曲线的三段弧分别有参数方程:x=acosθ,y=asinθ,z=0,0≤θ≤π∕2;x=acosφ,y=0,z=asinφ,0≤φ≤π∕2;x=0,y=acosφ,z=asinφ,0≤φ≤π∕2.224a曲线周长s=3aπ∕2,及sxacosadacosad,于是重心坐标xyz3.00(2)第一型曲线积分的对称性用法.222222例6.3.计算积分I=ydl,其中L:(xy)a(xy),a>0.L4222222解.用极坐标,L:rar(cossin)racos2.根据对称性得积分42222I=4rsinr[r()]d4a(12).02222x例6.4.设
3、L是顺时针方向椭圆y1,周长为l,则(xyx4y)ds=.(2001天津赛)4L2222x解.4y1x4y4,根据对称性得积分=4l.2.第二型(对坐标)曲线积分.PdxQdyRdzFdlCC注意有方向问题,一般计算方法有:化成参变量的定积分计算;应用格林公式或斯托克斯公式;利用与路径无关条件计算.(1)化成参变量的定积分计算.22例6.5.设L为正向圆周xy2在第一象限中的部分,则曲线积分xdy2ydx=.L解.L:x2cos,y2sin,:0.于是有积分=3π∕2.222222222例6.6.设C是从球面xyza上任一点到球面xyzb上任一点的任一光1/53222滑曲线(a
4、>0,b>0),计算积分I=r(xdxydyzdz),其中rxyz.Lb3155解.rdr=xdx+ydy+zdz,I=rrdr(ba).5a(2)格林公式的应用(注意条件).当L不闭合时,应添加光滑曲线使其闭合后再用格林公式.例6.7.设L是分段光滑的简单闭曲线,(2,0)、(2,0)两点不在L上.试就L的不同情形分别计算如yy2x2x下曲线积分的值:I[2222]dx[2222]dy.(1991上海竞赛)L(2x)y(2x)y(2x)y(2x)y解.令A(2,0),B(2,0),L包围的平面区域内部为D,记yy2x(2x)GDL,P1(2x)2y2,P2(2x)2y2,Q1
5、(2x)2y2,Q2(2x)2y2,PP1P2,QQ1Q2.2222P1(2x)yQ1P2(2x)yQ2则,.y[(2x)2y2]2xy[(2x)2y2]2x(1)A、B均为G的外点,根据格林公式有I=0.(2)A为G的内点,B为G的外点,则以A为中心作半径r充分小的闭圆盘E含于D内,记E的正向边界为C,有QPI=(xy)dPdxQdy0P1dxQ1dyP2dxQ2dyLCCCCCDE=P1dxQ1dy,且C:x=2+rcosθ,y=rsinθ,0≤θ<2π,于是有I=2π.C(3)A为G的外点,B为G的内点,同理可得I=2π.(4)A、B均为G的内点,与(2)相仿,在D内分别
6、以A、B为中心作半径r充分小的闭圆盘使它们的并集含于D内,仍用格林公式可得I=4π.(3)积分与路径无关的问题.21yf(xy)x2例6.8.设函数f(x)在(∞,+∞)内具有连续导数,求积分ydx2[yf(xy)1]dy,其中CCy是从点A(3,2∕3)到点B(1,2)的直线段.(1994北京竞赛)解.积分与路径无关,因此积分为212234212332[19f(3x)]dx23y2[yf(y)1]dy32f(u)du23f(y)dy14.(4)求原函数问题.例6.9.设函数Q(x,y)在xOy平面上具有连续一阶骗导数,曲线积分2xydxQ(x,y)dy与路径无L(t,1)(1
7、,t)关,并且对任意的t恒有2xydxQ(x,y)dy2xydxQ(x,y)dy,求Q(x,y).(2001天津)(0,0)(0,0)Q(2xy)2解.因积分与路径无关,有xy2x,Q(x,y)xC(y),其中C(y)为待定函数.又(t,1)11222xydxQ(x,y)dy[tC(y)]dytC(y)dy,(0,0)00(1,t)tt1t22xydxQ(x,y)dy[1C(y)]dytC(y)dy,对tC(y)dytC(y)dy的(0,0)00002两边关于t求导得2t=1+C(t),由此
