2008年高考试题——数学理(四川延考区卷)

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1、...2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷)数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）集合，的子集中，含有元素的子集共有（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个解：的子集共个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B（2）已知复数，则（A）（B）（C）（D）解：（3）的展开式中含的项的系数为（A）4（B）6（C）10（D）12解：展开式中含项的系数为（4）已知，则不等式的解集为（A）≥199，（B）≥200，（C）≥201，（D）≥202，解：（5）已

2、知，则（A）（B）（C）（D）......解：，选C（6）一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（A）（B）（C）（D）解：设球的半径为；正三棱锥的底面面积，，。所以，选A（7）若点到双曲线的一条淅近线的距离为，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）解：设过一象限的渐近线倾斜角为所以，因此，选A。（8）在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（A）（B）（C）（D）解：因文艺书只有2本，所以选3本必有科技书。问题等价

3、于选3本书有文艺书的概率：（9）过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（A）（B）（C）（D）解：弦心距最大为，的最小值为（10）已知两个单位向量与的夹角为，则的充要条件是（A）（B）......（C）（D）解：，选C（11）设函数的图象关于直线及直线对称，且时，，则（A）（B）（C）（D）解：（12）一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，为原正方体一条棱的中点。在原来的正方体中，与所成角的余弦值为（A）（B）（C）（D）解：还原正方体如右图所示设,则,,,与所成角等于与所成角,所以余弦值为,选D二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把

4、答案填在题中模式横线上。（13）函数的反函数为。解：，所以反函数，（14）设等差数列的前项和为，且。若，则。解：，取特殊值令，所以（15）已知函数在单调增加，在单调减少，则。......解：由题意又，令得。（如，则，与已知矛盾）（16）已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为。解：由对称性点在平面内的射影必在的平分线上作于，连结则由三垂线定理，设，又,所以，因此直线与平面所成角的正弦值三．解答题：本大题共6个小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在△中，内角对边的边长分别是，已知。（Ⅰ）若，且为钝角

5、，求内角与的大小；（Ⅱ）若，求△面积的最大值。解：（Ⅰ）由题设及正弦定理，有。故。因为钝角，所以。由，可得，得，。（Ⅱ）由余弦定理及条件，有，故≥。由于△面积，又≤，≤，当时，两个不等式中等号同时成立，......所以△面积的最大值为。（18）（本小题满分12分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：类、类、类。检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有类产品或2件都是类产品，就需要调整设备，否则不需要调整。已知该生产线上生产的每件产品为类品，类品和类品的概率分别为，和，且各件产品的质量情况互不影响。（Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要

6、调整的概率；（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，以表示一天中需要调整设备的次数，求的分布列和数学期望。解：（Ⅰ）设表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为类品”，表示事件“在一次抽检中抽到的第件产品为类品”，表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”。则。由已知，所以，所求的概率为。（Ⅱ）由（Ⅰ）知一次抽检后，设备需要调整的概率为，依题意知，的分布列为01230．7290．2430．0270．001。（19）（本小题满分12分）如图，一张平行四边形的硬纸片中，，。沿它的对角线把△折起，使点到达平面外点的位置。......（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）如果△为等腰三角形，求

7、二面角的大小。解：（Ⅰ）证明：因为，，所以，。因为折叠过程中，，所以，又，故平面。又平面，所以平面平面。（Ⅱ）解法一：如图，延长到，使，连结，。因为，，，，所以为正方形，。由于，都与平面垂直，所以，可知。因此只有时，△为等腰三角形。在△中，，又，所以△为等边三角形，。由（Ⅰ）可知，，所以为二面角的平面角，即二面角的大小为。解法二：以为坐标原点，射线，分别为轴正半轴和轴正半轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，。由（Ⅰ）可设点的坐标为，其中，则有。①因为△为等腰三角形，所以或。若，则有。则此得，，不合题意。若，则有。②联立①和②得，。故点的坐标为。......

8、由于，，所以与夹角的大小等于二面角的大小。又，，所以即二面角的大小