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1、高中数学解题中数形结合思想应用摘要：数形结合思想在高中数学中应用十分广泛，常见的比如在函数、集合、向量、不等式、立体几何、线性规划等问题中都有应用。本文通过一些典型例题，列举了数形结合思想的应用方法，避免复杂的数学推理与计算，简化解题过程，加强学生的解题能力。关键词：数学解题；数形结合；高中数学在高中教学中，数和形是两个最基本的概念，数形结合的思想不仅是高中数学解题中的一种重要思想，也是教学的重点。在高中数学解题中使用数形结合的方法，研究数和形的对应关系，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。在教学中培养学生数形结合的思想，能够有效的
2、提高学生的解题技巧，做到举一反三，加强学生的解题能力。数和形是数学研究的两大基本对象，数形结合即是以形助教，以数解形，就是数和形之间的相互转化。通过数和形的相互转化来解决数学问题，使抽象思维转换为形象思维，有助于理解数学问题的本质。数形结合可以求解很多问题，在高中数学中主要表现在以下几个方面：(1)通常可以结合数轴和文氏图进行求解集合问题；(2)数形结合可以使用函数的图像性质求解函数问题，可以研究函数的奇偶性、周期性、增减性，以及求函数的定义域、最值和极值、值域等问题。(3)数形结合可以联系向量的几何意义用于求解向量问题，运用点、
3、线、曲线的性质用于解析几何问题。(4)数形结合可以构造几何图形和函数特点求解不等式问题，从题目的条件和结论出发，分析几何意义，从图形上寻找解题的思路。使用数形结合的思想求解问题的关键在于图形的构造，抓住一些重要的量，巧妙地运用式子规律、数学概念符号去思考其内在的关系。思考途径可以用下图表示：数形结合的解题思路一、利用坐标法解决几何问题坐标法就是将几何问题坐标化。在解决几何问题中运用坐标法的基本思路是，首先根据几何问题的特点建立合适的坐标系，其次将几何问题转变为代数问题，经过推理和计算,获得相关的代数结论。最后考虑坐标系，将代数结论
4、转化为几何结论，由此得到原几何问题的答案。例1•已知3x+4y=12；并且x0,y0；求函数取得最小值和最大值的点。解析：从题的形式上来看此题是一个求解二元函数的极值问题，比较难求解，但如果运用坐标法，用初中的数学知识就可以求解。此题的约束条件是3x+4y=12,x0,y0,可以看成是坐标系中的线段AB,并且，。将函数M(x,y)适当的变形为。假设p为动点(x,y),Q(6,1),而M(x,y)则可以看作是定点Q到动点P的距离的平方，其中动点P被限制在线段AE上移动，如图，可以从图中很容易的看出点A(0,3)是使M(x,y)取得最
5、大值的点，点B(4,0)是使M(x,y)取得最小值的点。二、利用向量法解决几何问题向量是沟通“数”和“形”的有力工具，可以突出它们的内在联系。在高中教学中，向量法是指在求解几何问题时运用向量知识。使用向量法求解几何问题时候，常把直线的各边看作为向量，将几何问题转变为向量问题，把线段之间的关系转变为向量的关系式，由此借助向量的有关结论和运算法则,通过向量的计算或化简,推导出所需要的结论，从而求得问题的答案。在解几何问题上，向量法具有范围广和表述简洁的特点。例2.求证：直角三角形斜边上的中线等于其斜边的一半。证明：如图所示，在中，，D
6、是AC边上的中点，通过向量加法的平行四边形法则可以得到，向量可以作为联系几何与代数的最佳桥梁，可以使图形间的关系代数化，可以使图形量化，从复杂的图形分析中脱离出来，我们只需要研究图形中存在的向量关系，就能够推导出最终的结论。三、利用数性结合思想解决三角形面积问题在一些题目中含有三角形的问题，如果求解三角形周长和面积问题，常利用余弦定理、三角形恒等变换、正弦定理等方法来解决问题，在解题过程中利用三角函数的性质和定理，结合数形结合思想可以简化计算过程。例3.在，C=,AB=3,贝U的周长为()(A)(B)(C)(D)分析：本题一般思路
7、是用正弦定理和三角形恒等变形，然后通过一定量的计算来完成，但是如果能够注意到数形几何就能够很快解题。由此，可以延长AC到D,使得CB=CD,则AD二AC+CB,,,由此可以用正弦定理，从而，答案选C。四、利用斜率公式求函数的值域在一些分母、分子都是一次函数或三角函数的代数式中，求解值域问题，一般转化为斜率公式的形式求解问题。例4.求解函数的值域。分析：可以很明显的看出函数类似于的形式，可以看作为P(cosx,sinx),(2,-2)的直线斜率，而点P可以看作是在单位圆上，如图，得出。假设过点的圆的切线方程为，然后得到，进而得到，也
8、就是，最后得到函数的值域为。五、利用数形结合解决集合问题一般情况下，可以使用圆来表示集合，两圆相离代表两个集合没有公共元素，两圆相交代表两个集合有公共元素。我们可以使用韦恩图法则来解决有关集合之间关系的问题。例5•有个班级总共有48名学生，班里每个
