注重基础，创新思维

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1、注重基础，创新思维纵观近几年全国各省市的高考题，导数运用是必考题。导数可以用于求切线方程，求函数单调性，极值及最值，还可以用來证明不等式。实际上函数的几个基本性质中，单调性值域是极重耍的性质。用导数可以很方便地解决与此类性质相关的问题。因此，导数作为高考重要内容之一，体现了高考“在知识的交汇处出题”的指导思想。同时，导数运用中涉及的各种数学思想方法，也体现了思维的制高点。下面就一些高考实例来看导数运用：例1(湖北文)设函数f(x)=axn(l~x)+b(x>0)。n为正整数，a>b为常数，曲线尸f(x)在

2、［1,f(1)］处的切线方程为x+y二1。(1)求a,b的值。(2)求函数f(x)的最大值。(3)证明：f(x)

3、1。故3—1,b—0o(2)由(1)矢LI,f(x)二xn(l~x)二xn-xn+lf‘(x)=(n+1)xn-1令f'(x)二0,解得x二，即f'(x)在(0,+°°)上有唯一零点x0二。在0,上，f‘(x)>0,故f(x)单调递增。而在,+8上，f‘(x)<0,f(x)单调递减。故f(x)在区间(0,+8)上的最大值为fnl—O(3)注意到这是一个恒成立问题，对于恒成立问题，通常转化为求最值问题来证明。本题即证明〈。对于此式，直接构造函数，显然是不行的，这就要求学生在指数和对数间能灵活进行转化。由n+

4、l>e,两边同取自然对数，得In>,将指数不等式转化成对数不等式，进而构造函数，利用函数性质进行证明。本问证明过程可以如下：令e(t)二int-1+(t>o),则(t)二-二(t>o)0在区间(o,1)上，(t)o,e(t)单调递增。故e(t)在(0,+8)上的最小值为e(1)二o,所以e(t)>o即lnt>l-(t>l)o令t二1+,得In()>,即In()n+l>lneo所以n+l>e,即〈，故由(2)知f(x)W〈，故所证不等式成立。本题除

5、了考查导数的简单应用之外，还考查了转化与化归的数学思想及学生运算求解的能力。尤其是第三问的证明，考查了学生的逆向思维能力，观察、分析、转化的能力，通过恰当构造函数并研究其性质使问题得以证明。对于第三问的证明，还可以如下构造函数：欲证〈，即证〈，取自然对数，得(n+1)In

6、x-ax,其中a>0o(1)若对一切xeR,f(X)31恒成立,求a的取值集合。(2)在函数f(x)的图象上取定点A[xl,f(xl)]、B[x2,f(x2)],,上递减。由t〉o得e(t)<(o)=o,(xl

7、x)<0,函数f(X)单调递减；当x>lna时广(x)>0,函数f(x)单调递增。故当x=lna时，函数f(x)取最小值f(Ina)=a-alnao于是对一切xUR,f(x)21恒成立，当且仅当a~aInatl(1)至此，很多同学不知如何下手了，因为(1)式属于我们常说的超越不等式，无法求解。究竟如何求得a值，困扰了同学们。由于前面已经用过导数了，所以很多同学根本想不起来还要再次用到导数，导致此题无法破解。实际上，这就是一个套用导数的题目。回归到导数的常规用法，求最值上來，再次构造函数，求最值。令g(t)

8、=t~tlnt,则g'(t)=1-(lnt+1)=-lnt当00,函数g(t)单调递增；当t>l时，g'(t)<0,g(t)?蔚鞘菁酢？故当t二1时，g(t)取最大值lo因此，当且仅当a-1时，(1)式成立。综上所述，a的取值集合为｛1｝。(3)由题意知，k二二-a,令©(x)-fr(x)-k二ex-,则©(xl)=-[exl~x2-(x2~xl)T],6(x2)二[ex2-xl-(xl~x2)-1]令F(t)=et-t-l,