一类可解区传递自同构群

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1、硕十学位论文第一章绪论同构群，这意味着每一条线都包含同样数量的点，我们将次线性空间称为讵则线性空问，即通常所说的2一(v，k，1)设计．而一个，一(v，k，五)设计D=(Q，B)(或简称，一设计)是由’，个点的集合Q和它的一些k一元子集(称为区或线)组成的集合B，且满足对于Q的任意t一子集，恰好有力个区(或条线)包含它．D的自同构群G是Sym(【2)的这样的子群，对任意g∈G，L∈B有口∈B．因此，按照区的一个结果([13])，G同时作用在Q及B上．并假定Q是有限点集，lBl>1．1．2．12一传递群与设计1980年左右，人们完成了有限

2、单群的分类．此后，群论中许多悬而未决的问题得到了解决．首先是2一传递群的分类获得了解决．Kantor利用这个分类定理获得了具有2一传递自同构群的2一(v，七，1)设计(正则线性空间)的分类．这种设计我们称之为2一传递设计．定理1．2．1．1t14，15】设D=(Q，B)是2一(v，k，1)设计，G是它的2一传递的自同构群(在点集Q上)，则下列之一成立：(a)D=PG(d，q)，即GF(q)上的d一维射影空间，d≥2且PSL(d，q)≤G≤PFL(d，q)，或者(d，q)=(3，2)且G=4；(b)D=XG(d，q)，即GF(g)上仿射空

3、间，d≥2且G是AFL(d，q)的2一传递子群；(C)D是Hermitianunital，它是这样的一个设计，点和区分别是GF(q)上的3一维空间的93+1个迷向1一维空间和非奇异2一维空问，且PSU(3，q)≤G≤PFU(3，g)；(d)D是Reeunital，Ree(q)=2G2(g)≤G≤Aut(Ree(q))，这里q=32川≥3，Q是一个93+1个点的集合，B是一个G中的对合的稳定点的集合；(e)D是两个non—Desarguesion仿射平面，且k=27(Hereing平面)或k=9(nearfield平面)；(f)D是设计2

4、一(36，321)设计，G=霹：SL(2，13)．1．2．2旗传递设计设计D=(Q，B)的一个对(口，L)，这里口∈Q，L∈BKa∈L．设计D称为旗传递，如果它的自同构群在D的旗集合上是传递的．最有趣的旗传递设计是具有参数，=2和允=1的情况．在这种情形下，Higman和McLaughlin在1961年证明了它的自同构群在Q上是本原的，即D是点本原的(本原的定义出现在第二章)．在([12，18，19，20])中，几个人证明了旗传递2一(v，k，1)设计(正则线性2硕+学位论文第一章绪论空间)的自同构群的基柱(Socle)是初等交换群或者

5、是一个非交换单群．利用这个结果，Buekenhout等人分类了这种设计．定理1．2．2．1【21，221设D=(Q，B)是一个2一(v，尼，1)设计，它的白同构群是旗传递的．则下列之一成立：(a)O是定理1．2．1．1中之一；(b)O是Witt—Bose—Shrikhande空问，即PSL(2，q)≤G≤PFL(2，q)，这罩q=2”≥8，Q是一个q(q一1)／2个点的集合，B是PSL(2，g)中的对合的稳定点的集合；(C)D是non—Desarguesion．Luneburg仿射平面，它的阶是七=22“1；(d)1，是一个素数方幂，G

6、≤AFL(1，1，)．对于情形(d)，他们没有给出彻底的分类，但有许多例子，如广义Netto系和Kantor系．这个定理在有限几何中有重要的应用．在有限射影平面中，Delandsheer和Doyen利用这个定理研究了semiovalS([24])和极大弧([25])．1．2．3区传递设计在区传递设计的这个领域中，关于2一(v，尼，五)设计，最近有一些新的结果．我们知道，如果f一设计的自同构群在它的区集合上是传递的，则它也是点传递的([26])．现在旗传递2一(v，后，1)设计一定是点本原的([17])．但无论如何，区传递2一(v，七，1

7、)设计不能推出点本原．Delandsheer和Doyen证明了定理1．2．3．1【271设D是一个区传递，非点本原的2一(1，，后，A)设计，则v≤(阱1)2Ray—Chaudhuri和Wilson([28])证明了一个区传递4一设计的自同构群是2一齐次的，因而是点本原的．因此，对于一个区传递，非点本原的，一设计来说，参数，至多为3．在[29]中，Cameron和Praeger证明了：对于区传递非点本原3一(1，，后，力)设计，如果Aut(D)保持Q的这样的分划：要么是两个非本原区，要么是每个非本原区的长都是非2．则一定有V≤阱他们利用

8、计算机验证了当七≤70时，上述不等式也成立．但是对于一般的情形，这仍然是一个公开问题．猜想1．2．3．2对于一个区传递，非点本原的3一(’，，后，五)设计来说，一定有3硕十学位论文第一章绪论V≤阱当，=2时