基本不等式处理最值问题（含答案）

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1、学生姓名授课教师班主任上课时间月—口时一—时主任审批授课标题基本不等式处理最值问题学习目标基本不等式的常见用法重点难点基本不等式与函数结合的应用【知识回顾与练习】I基础知识1.（1）若a,bcR,则a2^-b2>2ab；（2）若a,beR,则恥”（当且仅当_2Q=/?时取“二”）.2.（1）若a>0,b>0,则（2）若d>0,b>0,则a+b>24ab（当且仅当2Q=b时取“=”）；（3）若d>0,b>0,则Clb<[^（当且仅当a=b时取“="I2丿3.若x>0,则兀+丄（当且仅当x=l时取“二”）；若兀<0,则x+-<-2（当且仅当x=-时取“二”）；若兀工

2、0,则兀+丄二2,即x+->2或兀+丄5—2（当且仅当a=bXXX时取“二”）.若ah0，则->2,即ba4.若ab>（）,则£+^>2（当且仅当a=b时取“二”）；ba--+->2或£+（当且仅当a=h时取“二”）.bciha若a,beR,（a+b0,/?>0)图象及性质X（1）函数f（x）=ajc+-@、b〉0）图彖如右图所示:X(2)函数f(x)=ax+-@、/?>0)性质:X①值域：(-8,-2/^]U[2j^,+oo)；②单调

3、递增区间:—OO万、—,+°°a;单调递减区间:注:（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”;（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”;（3）均值定理在求最值、比较大小.求变量的取值范圉.证明不等式.解决实际问题方面有广泛的应用.【作业批改与讲解】【知识讲解与练习】一、利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时，应注意三个条件：“一正，二定，三相等”，这三个条件中，以定值为本.因为在一定限制条件下，某些代数式需经过一定的变式处理，才可利用基本不等式求得最值，而怎样变式，

4、完全取决于定值的作用.主要有两种类型：一类是中条件给出定值式，一类是条件中无定值式.类型一给出定值例1.己知兀>0,y>0,且满足兰+上=1,则小的最大值为334—解析因为x>0,y>0,专+普=1所沁2倨=得当且仅当壬=弓，即上=棗y=2时取等号，于是得夕0

5、7廿5z/(、丿zr\+、丿4-s+499-4>-、丿5+5-f+4r-s+u/ft+$Tux-、丿1-f

6、l+2++2+1-4>-+4一//-6、丿1-z+4-s类型二未知定值例2.已知二次不等式o?+2x+b〉0的解集为!且则°+"的最［aJa-b小值为_2—•・•二次不等式的＞0解集为｛x

7、x=-l｝且a＞bA=4-4ab=0=>a&=1曰>0a~ba^b当且仅当a-b=厶，ab=1时取等号a~o应用基本不等式求函数最值常用技巧有:技巧一：凑项例4.己知x＜—,求函数y=4x-2+—!—的最大值.=_(5_4x+—!—I5-4x丿4•4x-5+33—2+3=1，当且【解析】＜—,・•.5-4兀＞（）,・•・y=4x-2+—!—44x-5仅当5-4%=—^,即x=l吋

8、，上式等号成立，故当兀=1吋，ynrix=1.5-4x技巧二：凑系数例5・当0＜兀＜4时，求y=x（S-2x）的最大值.I［厂、2【解析】尸兀（8_2兀）专［2兀・（8_2兀）匕却;J=8,当2x=8-2x,即x=2时取等号当x=2时，y=x（8一2x）的最大值为8.【变式】设0vxv

9、，求函数y=4兀(3・2兀)的最大值.心上3二2三、「斗当巨仅当3/【解析】*.*00,y~4x(3-2x)=2-2x(3-2x)^2i~2x=3-2x,即时爷号成立.技巧三：分离r2+7r+l()例6.求『=兀十心丄仏>—])的值域.兀+12疋■x2+7x+10

10、(x+I)2+5(x+1)+44【解析—】y・■——_-—-(x+1)+―+5,当即x+l>0时,x+1x+1x+1ya2^(x+l).-i^+5=9(当且仅当"1时取“=”号〉.技巧四：换元上述例6也可以用换元法求解.【解析二】例7.已知°,方为正实数，2b+ab+a=30,求函数y=~^的最小值.【解法一】由已知得a=晋亍丰，ab=^Y"=厂2常'Ob../a>()A0